Номер 2.17, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.17, страница 20.

2.17. Решите уравнение:

1) $3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0;$

2) $2^{2x+1} - 7 \cdot 10^x + 25^{x+0.5} = 0;$

3) $7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x = 4 \cdot 16^x;$

4) $9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x.$

1) Исходное уравнение: $3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0$.
Это однородное показательное уравнение. Преобразуем его, используя свойства степеней:
$2^{2x} = (2^x)^2 = 4^x$
$6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$
$3^{2x} = (3^x)^2 = 9^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$3 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot 9^x = 0$
Разделим обе части уравнения на $9^x$. Так как $9^x > 0$ при любом $x$, это преобразование является равносильным.
$3 \cdot \frac{4^x}{9^x} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{9^x} + 2 \cdot \frac{9^x}{9^x} = 0$
$3 \cdot (\frac{4}{9})^x - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 2 = 0$
$3 \cdot ((\frac{2}{3})^2)^x - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 2 = 0$
$3 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Так как основание степени положительно, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 5t + 2 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{6} = 1$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.
1. $(\frac{2}{3})^x = t_1 = 1 \implies (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^0 \implies x_1 = 0$.
2. $(\frac{2}{3})^x = t_2 = \frac{2}{3} \implies (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^1 \implies x_2 = 1$.
Ответ: $0; 1$.

2) Исходное уравнение: $2^{2x+1} - 7 \cdot 10^x + 25^{x+0.5} = 0$.
Преобразуем каждый член уравнения:
$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^2)^x = 2 \cdot 4^x$
$10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$
$25^{x+0.5} = 25^x \cdot 25^{0.5} = (5^2)^x \cdot \sqrt{25} = 5^{2x} \cdot 5 = 5 \cdot (5^x)^2$
Уравнение принимает вид:
$2 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^x \cdot 5^x + 5 \cdot 5^{2x} = 0$
Это однородное уравнение. Разделим обе части на $5^{2x}$ (так как $5^{2x} > 0$ для всех $x$):
$2 \cdot \frac{4^x}{5^{2x}} - 7 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{5^{2x}} + 5 \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}} = 0$
$2 \cdot (\frac{4}{25})^x - 7 \cdot (\frac{2}{5})^x + 5 = 0$
$2 \cdot ((\frac{2}{5})^2)^x - 7 \cdot (\frac{2}{5})^x + 5 = 0$
$2 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} - 7 \cdot (\frac{2}{5})^x + 5 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 7t + 5 = 0$.
Найдем его корни:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.
$t_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{4} = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$t_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{4} = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Оба корня положительны. Вернемся к замене:
1. $(\frac{2}{5})^x = t_1 = \frac{5}{2} \implies (\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^{-1} \implies x_1 = -1$.
2. $(\frac{2}{5})^x = t_2 = 1 \implies (\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^0 \implies x_2 = 0$.
Ответ: $-1; 0$.

3) Исходное уравнение: $7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x = 4 \cdot 16^x$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x - 4 \cdot 16^x = 0$
Представим основания степеней через простые множители:
$49^x = (7^2)^x = 7^{2x}$
$28^x = (4 \cdot 7)^x = 4^x \cdot 7^x$
$16^x = (4^2)^x = 4^{2x}$
Уравнение примет вид:
$7 \cdot 7^{2x} + 3 \cdot 4^x \cdot 7^x - 4 \cdot 4^{2x} = 0$
Разделим обе части на $4^{2x} > 0$:
$7 \cdot \frac{7^{2x}}{4^{2x}} + 3 \cdot \frac{4^x \cdot 7^x}{4^{2x}} - 4 \cdot \frac{4^{2x}}{4^{2x}} = 0$
$7 \cdot (\frac{7}{4})^{2x} + 3 \cdot (\frac{7}{4})^x - 4 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{7}{4})^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $7t^2 + 3t - 4 = 0$.
Найдем его корни:
$D = 3^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
$t_1 = \frac{-3 + 11}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$
$t_2 = \frac{-3 - 11}{14} = \frac{-14}{14} = -1$
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому отбрасываем его.
Вернемся к замене для $t_1$:
$(\frac{7}{4})^x = \frac{4}{7} \implies (\frac{7}{4})^x = (\frac{7}{4})^{-1} \implies x = -1$.
Ответ: $-1$.

4) Исходное уравнение: $9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$9^x - 2 \cdot 6^x + 4^x = 0$
Представим степени с составными основаниями через степени с простыми основаниями:
$(3^2)^x - 2 \cdot (2 \cdot 3)^x + (2^2)^x = 0$
$(3^x)^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 3^x + (2^x)^2 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3^x$ и $b = 2^x$.
Свернем выражение:
$(3^x - 2^x)^2 = 0$
Это уравнение равносильно следующему:
$3^x - 2^x = 0$
$3^x = 2^x$
Поскольку $2^x \neq 0$ ни при каком $x$, разделим обе части на $2^x$:
$\frac{3^x}{2^x} = 1$
$(\frac{3}{2})^x = 1$
Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{2}$:
$(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0$
Отсюда следует, что $x=0$.
Ответ: $0$.