Номер 2.16, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.16, страница 20.

2.16. Решите уравнение:

1) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{2x+3}{x}} - 32 = 0;$

2) $5^{\sqrt{x-2}} - 5^{1-\sqrt{x-2}} - 4 = 0;$

3) $2^{\cos 2x} - 3 \cdot 2^{\cos^2 x} + 4 = 0.$

1) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{2x+3}{x}} - 32 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в показателе степени не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 2.
$8^{\frac{2}{x}} = (2^3)^{\frac{2}{x}} = 2^{\frac{6}{x}}$
$2^{\frac{2x+3}{x}} = 2^{\frac{2x}{x} + \frac{3}{x}} = 2^{2 + \frac{3}{x}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 4 \cdot 2^{\frac{3}{x}}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$2^{\frac{6}{x}} - 4 \cdot 2^{\frac{3}{x}} - 32 = 0$
Заметим, что $2^{\frac{6}{x}} = (2^{\frac{3}{x}})^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\frac{3}{x}}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения:
$t^2 - 4t - 32 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.
Сумма корней равна 4, произведение равно -32.
$t_1 = 8$
$t_2 = -4$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = 8$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -4$ - не удовлетворяет условию, так как $t$ не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для $t_1 = 8$:
$2^{\frac{3}{x}} = 8$
$2^{\frac{3}{x}} = 2^3$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{3}{x} = 3$
$x = 1$

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: 1

2) $5^{\sqrt{x-2}} - 5^{1-\sqrt{x-2}} - 4 = 0$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Преобразуем второе слагаемое:
$5^{1-\sqrt{x-2}} = 5^1 \cdot 5^{-\sqrt{x-2}} = \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}}$

Подставим преобразованное выражение в уравнение:
$5^{\sqrt{x-2}} - \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}} - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^{\sqrt{x-2}}$.
Так как $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $t = 5^{\sqrt{x-2}} \ge 5^0 = 1$. Итак, $t \ge 1$.
Уравнение примет вид:
$t - \frac{5}{t} - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \ge 1$, то $t \neq 0$):
$t^2 - 5 - 4t = 0$
$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета.
Сумма корней равна 4, произведение равно -5.
$t_1 = 5$
$t_2 = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 1$.
$t_1 = 5$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ - не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_1 = 5$:
$5^{\sqrt{x-2}} = 5$
$5^{\sqrt{x-2}} = 5^1$
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{x-2} = 1$
Возводим обе части в квадрат:
$x-2 = 1$
$x = 3$

Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: 3

3) $2^{\cos(2x)} - 3 \cdot 2^{\cos^2(x)} + 4 = 0$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.
Подставим это в уравнение:
$2^{2\cos^2(x) - 1} - 3 \cdot 2^{\cos^2(x)} + 4 = 0$

Преобразуем первое слагаемое:
$2^{2\cos^2(x) - 1} = \frac{2^{2\cos^2(x)}}{2^1} = \frac{(2^{\cos^2(x)})^2}{2}$
Уравнение примет вид:
$\frac{(2^{\cos^2(x)})^2}{2} - 3 \cdot 2^{\cos^2(x)} + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\cos^2(x)}$.
Так как область значений функции $\cos^2(x)$ - это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \cos^2(x) \le 1$, то
$2^0 \le 2^{\cos^2(x)} \le 2^1$, следовательно, $1 \le t \le 2$.

Подставим $t$ в уравнение:
$\frac{t^2}{2} - 3t + 4 = 0$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета.
Сумма корней равна 6, произведение равно 8.
$t_1 = 4$
$t_2 = 2$

Проверим корни на соответствие условию $1 \le t \le 2$.
$t_1 = 4$ - не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$.
$t_2 = 2$ - удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_2 = 2$:
$2^{\cos^2(x)} = 2$
$2^{\cos^2(x)} = 2^1$
Приравниваем показатели степеней:
$\cos^2(x) = 1$
Это равносильно тому, что $\cos(x) = 1$ или $\cos(x) = -1$.

Решения этих простейших тригонометрических уравнений можно объединить в одну серию:
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Ответ: $\pi k, k \in \mathbb{Z}$