Номер 2.9, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.9, страница 19.

2.9. Решите уравнение:

$1) 2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56;$

$2) 6 \cdot 5^x - 5^{x+1} - 3 \cdot 5^{x-1} = 10;$

$3) 2 \cdot 7^x + 7^{x+2} - 3 \cdot 7^{x-1} = 354;$

$4) 4^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228;$

$5) 4 \cdot 9^{1.5x-1} - 27^{x-1} = 33;$

$6) 0.5^{5-2x} + 3 \cdot 0.25^{3-x} = 5;$

$7) 2^{2x+1} + 4^x - \left(\frac{1}{16}\right)^{1-0.5x} = 47;$

$8) 4 \cdot 3^x - 5 \cdot 3^{x-1} - 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 9^{x^2-1}.$

1) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Вынесем за скобки общий множитель $2^{x-2}$ (степень с наименьшим показателем):

$2^{x-2} \cdot 2^2 + 2^{x-2} \cdot 2^1 + 2^{x-2} = 56$

$2^{x-2}(2^2 + 2^1 + 1) = 56$

$2^{x-2}(4 + 2 + 1) = 56$

$2^{x-2} \cdot 7 = 56$

$2^{x-2} = \frac{56}{7}$

$2^{x-2} = 8$

Представим 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.

$2^{x-2} = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 2 = 3$

$x = 5$

Ответ: $x=5$.

2) $6 \cdot 5^x - 5^{x+1} - 3 \cdot 5^{x-1} = 10$

Вынесем за скобки общий множитель $5^{x-1}$:

$6 \cdot 5^{x-1} \cdot 5^1 - 5^{x-1} \cdot 5^2 - 3 \cdot 5^{x-1} = 10$

$5^{x-1}(6 \cdot 5 - 5^2 - 3) = 10$

$5^{x-1}(30 - 25 - 3) = 10$

$5^{x-1}(2) = 10$

$5^{x-1} = \frac{10}{2}$

$5^{x-1} = 5$

$5^{x-1} = 5^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 1 = 1$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

3) $2 \cdot 7^x + 7^{x+2} - 3 \cdot 7^{x-1} = 354$

Вынесем за скобки общий множитель $7^{x-1}$:

$2 \cdot 7^{x-1} \cdot 7^1 + 7^{x-1} \cdot 7^3 - 3 \cdot 7^{x-1} = 354$

$7^{x-1}(2 \cdot 7 + 7^3 - 3) = 354$

$7^{x-1}(14 + 343 - 3) = 354$

$7^{x-1}(354) = 354$

$7^{x-1} = 1$

Представим 1 как $7^0$:

$7^{x-1} = 7^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

4) $4^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228$

Приведем все степени к основанию 2, зная, что $4 = 2^2$:

$(2^2)^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228$

$2^{2x-4} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{2x-4}$:

$2^{2x-4} - 3 \cdot 2^{2x-4} \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^{2x-4} \cdot 2^4 = 228$

$2^{2x-4}(1 - 3 \cdot 8 + 5 \cdot 16) = 228$

$2^{2x-4}(1 - 24 + 80) = 228$

$2^{2x-4} \cdot 57 = 228$

$2^{2x-4} = \frac{228}{57}$

$2^{2x-4} = 4$

$2^{2x-4} = 2^2$

Приравниваем показатели степеней:

$2x - 4 = 2$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

5) $4 \cdot 9^{1.5x-1} - 27^{x-1} = 33$

Приведем все степени к основанию 3, зная, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$:

$4 \cdot (3^2)^{1.5x-1} - (3^3)^{x-1} = 33$

$4 \cdot 3^{2(1.5x-1)} - 3^{3(x-1)} = 33$

$4 \cdot 3^{3x-2} - 3^{3x-3} = 33$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $3^{3x-3}$:

$4 \cdot 3^{3x-3} \cdot 3^1 - 3^{3x-3} = 33$

$3^{3x-3}(4 \cdot 3 - 1) = 33$

$3^{3x-3}(11) = 33$

$3^{3x-3} = 3$

$3^{3x-3} = 3^1$

Приравниваем показатели степеней:

$3x - 3 = 1$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

6) $0.5^{5-2x} + 3 \cdot 0.25^{3-x} = 5$

Приведем все степени к основанию 0.5, зная, что $0.25 = 0.5^2$:

$0.5^{5-2x} + 3 \cdot (0.5^2)^{3-x} = 5$

$0.5^{5-2x} + 3 \cdot 0.5^{6-2x} = 5$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $0.5^{6-2x}$ (поскольку $6-2x > 5-2x$, то показатель $6-2x$ меньше):

$0.5^{5-2x} \cdot 1 + 3 \cdot 0.5^{5-2x} \cdot 0.5^1 = 5$

$0.5^{5-2x}(1 + 3 \cdot 0.5) = 5$

$0.5^{5-2x}(1 + 1.5) = 5$

$0.5^{5-2x} \cdot 2.5 = 5$

$0.5^{5-2x} = \frac{5}{2.5}$

$0.5^{5-2x} = 2$

Так как $0.5 = 2^{-1}$:

$(2^{-1})^{5-2x} = 2^1$

$2^{-5+2x} = 2^1$

Приравниваем показатели степеней:

$-5 + 2x = 1$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

7) $2^{2x+1} + 4^x - (\frac{1}{16})^{1-0.5x} = 47$

Приведем все степени к основанию 2: $4=2^2$, $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.

$2^{2x+1} + (2^2)^x - (2^{-4})^{1-0.5x} = 47$

$2^{2x+1} + 2^{2x} - 2^{-4+2x} = 47$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{2x-4}$:

$2^{2x-4} \cdot 2^5 + 2^{2x-4} \cdot 2^4 - 2^{2x-4} = 47$

$2^{2x-4}(32 + 16 - 1) = 47$

$2^{2x-4} \cdot 47 = 47$

$2^{2x-4} = 1$

$2^{2x-4} = 2^0$

Приравниваем показатели степеней:

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

8) $4 \cdot 3^x - 5 \cdot 3^{x-1} - 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 9^{x^2-1}$

Упростим левую часть, вынеся за скобки $3^{x-2}$:

$3^{x-2}(4 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3^1 - 6) = 3^{x-2}(36 - 15 - 6) = 15 \cdot 3^{x-2}$

Упростим правую часть, приведя степень к основанию 3:

$15 \cdot 9^{x^2-1} = 15 \cdot (3^2)^{x^2-1} = 15 \cdot 3^{2(x^2-1)} = 15 \cdot 3^{2x^2-2}$

Уравнение принимает вид:

$15 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 3^{2x^2-2}$

Разделим обе части на 15:

$3^{x-2} = 3^{2x^2-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 2 = 2x^2 - 2$

$2x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$2x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}$

Ответ: $x=0; x=\frac{1}{2}$.