Номер 2.5, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.5, страница 19.

2.5. Решите уравнение:

1) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0;$

2) $9^x - 6 \cdot 3^x - 27 = 0;$

3) $25^x - 5^x - 20 = 0;$

4) $100 \cdot 0,3^{2x} + 91 \cdot 0,3^x - 9 = 0.$

1) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Данное уравнение является показательным, и его можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.

Выполним замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение примет вид:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корни легко подбираются:

$t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$, поэтому оба являются действительными решениями для $t$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

1. Для $t_1 = 2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x_1 = 1$

2. Для $t_2 = 4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

2) $9^x - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 6t - 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Единственный подходящий корень $t_1 = 9$.

Выполним обратную замену:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

3) $25^x - 5^x - 20 = 0$

Это уравнение также сводится к квадратному. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - t - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -20. Корни:

$t_1 = 5$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому мы его отбрасываем.

Остается корень $t_1 = 5$.

Выполним обратную замену:

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $100 \cdot 0.3^{2x} + 91 \cdot 0.3^x - 9 = 0$

Заметим, что $0.3^{2x} = (0.3^x)^2$. Сведем уравнение к квадратному с помощью замены.

Пусть $t = 0.3^x$. Так как $0.3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$100t^2 + 91t - 9 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 91^2 - 4 \cdot 100 \cdot (-9) = 8281 + 3600 = 11881$.

Поскольку $100^2 = 10000$ и $110^2 = 12100$, корень из $11881$ находится между 100 и 110. Последняя цифра 1, значит, корень должен оканчиваться на 1 или 9. Проверим 109: $109^2=11881$. Таким образом, $\sqrt{D} = 109$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-91 + 109}{2 \cdot 100} = \frac{18}{200} = \frac{9}{100} = 0.09$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-91 - 109}{2 \cdot 100} = \frac{-200}{200} = -1$.

Корень $t_2 = -1$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $t > 0$.

Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = 0.09$.

Выполним обратную замену:

$0.3^x = 0.09$

Представим $0.09$ как степень числа $0.3$: $0.09 = (0.3)^2$.

$0.3^x = (0.3)^2$

Отсюда $x = 2$.

Ответ: $2$.