Номер 2.7, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.7, страница 19.

2.7. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{9} \cdot \sqrt{3^{3x-1}} = 81^{\frac{3}{4}}$;

2) $4^x \cdot 3^{x+1} = 0,25 \cdot 12^{3x-1}$;

3) $4 \cdot 2^{\cos x} = \sqrt{8}$;

4) $0,25 \cdot 2^{x^2} = \sqrt[3]{0,25 \cdot 4^{2x}}$;

5) $5^{x-1} = 10^x \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1}$;

6) $\sqrt[3]{9^{2x+1}} = \frac{3}{5\sqrt{3}}$.

1) Исходное уравнение: $ \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3^{3x-1}} = 81^{\frac{3}{4}} $.
Представим все части уравнения в виде степеней с основанием 3.
$ \frac{1}{9} = 3^{-2} $
$ \sqrt{3^{3x-1}} = (3^{3x-1})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3x-1}{2}} $
$ 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 $
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ 3^{-2} \cdot 3^{\frac{3x-1}{2}} = 3^3 $
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$ 3^{-2 + \frac{3x-1}{2}} = 3^3 $
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$ -2 + \frac{3x-1}{2} = 3 $
$ \frac{3x-1}{2} = 5 $
$ 3x-1 = 10 $
$ 3x = 11 $
$ x = \frac{11}{3} $
Ответ: $ \frac{11}{3} $.

2) Исходное уравнение: $ 4^x \cdot 3^{x+1} = 0,25 \cdot 12^{3x-1} $.
Представим все числа через простые основания 2 и 3.
$ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} $
$ 0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2} $
$ 12^{3x-1} = (4 \cdot 3)^{3x-1} = ((2^2) \cdot 3)^{3x-1} = (2^2)^{3x-1} \cdot 3^{3x-1} = 2^{6x-2} \cdot 3^{3x-1} $
Подставим в уравнение:
$ 2^{2x} \cdot 3^{x+1} = 2^{-2} \cdot (2^{6x-2} \cdot 3^{3x-1}) $
$ 2^{2x} \cdot 3^{x+1} = 2^{6x-4} \cdot 3^{3x-1} $
Разделим обе части на $ 2^{2x} \cdot 3^{3x-1} $ (при условии, что они не равны нулю, что верно для любых x):
$ \frac{3^{x+1}}{3^{3x-1}} = \frac{2^{6x-4}}{2^{2x}} $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$ 3^{(x+1) - (3x-1)} = 2^{(6x-4) - 2x} $
$ 3^{-2x+2} = 2^{4x-4} $
$ 3^{2(1-x)} = 2^{4(x-1)} $
$ (3^2)^{1-x} = (2^4)^{x-1} $
$ 9^{1-x} = 16^{x-1} $
$ (9^{-1})^{x-1} = 16^{x-1} $
$ (\frac{1}{9})^{x-1} = 16^{x-1} $
Разделим обе части на $ 16^{x-1} $:
$ (\frac{1}{9 \cdot 16})^{x-1} = 1 $
$ (\frac{1}{144})^{x-1} = (\frac{1}{144})^0 $
Приравниваем показатели:
$ x-1=0 $
$ x=1 $
Ответ: 1.

3) Исходное уравнение: $ 4 \cdot 2^{\cos x} = \sqrt{8} $.
Представим все части уравнения в виде степеней с основанием 2.
$ 4 = 2^2 $
$ \sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{\frac{3}{2}} $
Подставим в уравнение:
$ 2^2 \cdot 2^{\cos x} = 2^{\frac{3}{2}} $
$ 2^{2+\cos x} = 2^{\frac{3}{2}} $
Приравниваем показатели:
$ 2+\cos x = \frac{3}{2} $
$ \cos x = \frac{3}{2} - 2 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ 0,25 \cdot 2^{x^2} = \sqrt[3]{0,25 \cdot 4^{2x}} $.
Представим все части уравнения в виде степеней с основанием 2.
$ 0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} $
$ 4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x} $
Подставим в уравнение:
$ 2^{-2} \cdot 2^{x^2} = \sqrt[3]{2^{-2} \cdot 2^{4x}} $
Упростим обе части:
$ 2^{x^2 - 2} = (2^{4x-2})^{\frac{1}{3}} $
$ 2^{x^2 - 2} = 2^{\frac{4x-2}{3}} $
Приравниваем показатели:
$ x^2 - 2 = \frac{4x-2}{3} $
Умножим обе части на 3:
$ 3(x^2 - 2) = 4x - 2 $
$ 3x^2 - 6 = 4x - 2 $
$ 3x^2 - 4x - 4 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $
Ответ: $ 2; -\frac{2}{3} $.

5) Исходное уравнение: $ 5^{x-1} = 10^x \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1} $.
Представим $ 10^x $ как $ (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x $:
$ 5^{x-1} = (2^x \cdot 5^x) \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в правой части:
$ 5^{x-1} = (2^x \cdot 2^{-x}) \cdot (5^x \cdot 5^{x+1}) $
$ 5^{x-1} = 2^{x-x} \cdot 5^{x+x+1} $
$ 5^{x-1} = 2^0 \cdot 5^{2x+1} $
$ 5^{x-1} = 1 \cdot 5^{2x+1} $
$ 5^{x-1} = 5^{2x+1} $
Приравниваем показатели:
$ x-1 = 2x+1 $
$ -1 - 1 = 2x - x $
$ x = -2 $
Ответ: -2.

6) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{9^{2x+1}} = \frac{3}{\sqrt[5]{3}} $.
Представим все части уравнения в виде степеней с основанием 3.
Левая часть: $ \sqrt[3]{9^{2x+1}} = \sqrt[3]{(3^2)^{2x+1}} = \sqrt[3]{3^{2(2x+1)}} = \sqrt[3]{3^{4x+2}} = (3^{4x+2})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4x+2}{3}} $
Правая часть: $ \frac{3}{\sqrt[5]{3}} = \frac{3^1}{3^{\frac{1}{5}}} = 3^{1 - \frac{1}{5}} = 3^{\frac{4}{5}} $
Получаем уравнение:
$ 3^{\frac{4x+2}{3}} = 3^{\frac{4}{5}} $
Приравниваем показатели:
$ \frac{4x+2}{3} = \frac{4}{5} $
Воспользуемся свойством пропорции:
$ 5(4x+2) = 3 \cdot 4 $
$ 20x + 10 = 12 $
$ 20x = 2 $
$ x = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $
Ответ: $ \frac{1}{10} $.