Номер 2.6, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.6, страница 19.

2.6. Решите уравнение:

1) $6^{2x} - 3 \cdot 6^x - 18 = 0$;

2) $2 \cdot 4^x - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$.

1) $6^{2x} - 3 \cdot 6^x - 18 = 0$

Данное уравнение является показательным и сводится к квадратному. Заметим, что $6^{2x} = (6^x)^2$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ всегда положительна ($a>0, a \neq 1$), то для нашей замены должно выполняться условие $t > 0$.
Подставив новую переменную в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 3t - 18 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3+9}{2} = 6$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3-9}{2} = -3$
Теперь проверим полученные корни на соответствие условию $t > 0$.
Корень $t_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 > 0$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 > 0$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной $x$, используя подходящий корень $t = 6$:
$6^x = 6$
Представим правую часть как степень с основанием 6:
$6^x = 6^1$
Отсюда $x=1$.

Ответ: $1$.

2) $2 \cdot 4^x - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$

Преобразуем уравнение, приведя все степени к одному основанию. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$.
Уравнение примет вид:
$2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = 2^x$. Условие для новой переменной: $y > 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $y$:
$2y^2 - 9y + 4 = 0$
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9-7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня, $y_1 = 4$ и $y_2 = \frac{1}{2}$, удовлетворяют условию $y > 0$.
Выполним обратную замену для каждого из корней.
1. Для $y_1 = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$
2. Для $y_2 = \frac{1}{2}$:
$2^x = \frac{1}{2}$
$2^x = 2^{-1}$
$x = -1$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 2$.