Номер 2.2, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.2, страница 18.

2.2. Решите уравнение:

1) $0,4^{x^2-x-6} = 1;$

2) $(\frac{3}{5})^x = \frac{5}{3};$

3) $0,7^x = 2\frac{2}{49};$

4) $9^{-x} = 27;$

5) $\sqrt{2^x} = 8^{-\frac{2}{3}};$

6) $(\frac{2}{9})^{2x+3} = 4,5^{x-2};$

7) $100^x = 0,01\sqrt{10};$

8) $(\frac{2}{5})^x \cdot (\frac{25}{8})^x = \frac{125}{64};$

9) $2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = \frac{1}{36} \cdot 6^{2x+5};$

10) $32^{5x-\frac{3}{2}} = 4^{6-\frac{3}{2}x};$

11) $3^{x^2-9} = 7^{x^2-9};$

12) $16^{5-3x} = 0,125^{5x-6}.$

1) Исходное уравнение: $0,4^{x^2 - x - 6} = 1$.
Поскольку любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1, мы можем приравнять показатель степени к нулю. Основание $0,4 \neq 1$, поэтому это единственный способ получить 1 в правой части.
$x^2 - x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$
Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 3$.

2) Исходное уравнение: $(\frac{3}{5})^x = \frac{5}{3}$.
Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что правая часть является обратной дробью к основанию в левой части.
$\frac{5}{3} = (\frac{3}{5})^{-1}$
Подставим это в уравнение:
$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$x = -1$
Ответ: $-1$.

3) Исходное уравнение: $0,7^x = 2\frac{2}{49}$.
Преобразуем обе части уравнения в обыкновенные дроби.
$0,7 = \frac{7}{10}$
$2\frac{2}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 2}{49} = \frac{98 + 2}{49} = \frac{100}{49}$
Уравнение принимает вид: $(\frac{7}{10})^x = \frac{100}{49}$.
Теперь представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{7}{10}$.
$\frac{100}{49} = (\frac{10}{7})^2 = ((\frac{7}{10})^{-1})^2 = (\frac{7}{10})^{-2}$
Получаем уравнение: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{7}{10})^{-2}$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = -2$
Ответ: $-2$.

4) Исходное уравнение: $9^{-x} = 27$.
Приведем обе части уравнения к общему основанию 3.
$9 = 3^2$, $27 = 3^3$
Подставляем в уравнение:
$(3^2)^{-x} = 3^3$
$3^{-2x} = 3^3$
Приравниваем показатели степеней:
$-2x = 3$
$x = -\frac{3}{2}$ или $x = -1,5$
Ответ: $-1,5$.

5) Исходное уравнение: $\sqrt{2^x} = 8^{\frac{2}{3}}$.
Приведем обе части уравнения к общему основанию 2.
Левая часть: $\sqrt{2^x} = (2^x)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{x}{2}}$
Правая часть: $8 = 2^3$, поэтому $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2$
Уравнение принимает вид: $2^{\frac{x}{2}} = 2^2$
Приравниваем показатели:
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Ответ: $4$.

6) Исходное уравнение: $(\frac{2}{9})^{2x+3} = 4,5^{x-2}$.
Приведем обе части к общему основанию. Преобразуем 4,5 в обыкновенную дробь.
$4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$
Заметим, что $\frac{9}{2}$ является обратной дробью к $\frac{2}{9}$, то есть $\frac{9}{2} = (\frac{2}{9})^{-1}$.
Подставим это в уравнение:
$(\frac{2}{9})^{2x+3} = ((\frac{2}{9})^{-1})^{x-2}$
$(\frac{2}{9})^{2x+3} = (\frac{2}{9})^{-(x-2)}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x+3 = -(x-2)$
$2x+3 = -x+2$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

7) Исходное уравнение: $100^x = 0,01\sqrt{10}$.
Приведем обе части к общему основанию 10.
Левая часть: $100^x = (10^2)^x = 10^{2x}$
Правая часть: $0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$ и $\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$.
$0,01\sqrt{10} = 10^{-2} \cdot 10^{\frac{1}{2}} = 10^{-2 + \frac{1}{2}} = 10^{-\frac{4}{2} + \frac{1}{2}} = 10^{-\frac{3}{2}}$
Уравнение принимает вид: $10^{2x} = 10^{-\frac{3}{2}}$
Приравниваем показатели:
$2x = -\frac{3}{2}$
$x = -\frac{3}{4}$ или $x = -0,75$
Ответ: $-0,75$.

8) Исходное уравнение: $(\frac{2}{5})^x \cdot (\frac{25}{8})^x = \frac{125}{64}$.
В левой части используем свойство $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$:
$(\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8})^x = \frac{125}{64}$
Упростим основание в левой части:
$\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8} = \frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 4} = \frac{5}{4}$
Уравнение принимает вид: $(\frac{5}{4})^x = \frac{125}{64}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{4}$.
$125 = 5^3$ и $64 = 4^3$.
$\frac{125}{64} = \frac{5^3}{4^3} = (\frac{5}{4})^3$
Уравнение: $(\frac{5}{4})^x = (\frac{5}{4})^3$.
Приравниваем показатели:
$x=3$
Ответ: $3$.

9) Исходное уравнение: $2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = \frac{1}{36} \cdot 6^{2x+5}$.
Объединим степени в левой части, используя свойство $a^c \cdot b^c = (ab)^c$ :
$2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = (2 \cdot 3)^{x-1} = 6^{x-1}$
Представим $\frac{1}{36}$ как степень с основанием 6: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.
Уравнение принимает вид: $6^{x-1} = 6^{-2} \cdot 6^{2x+5}$.
В правой части сложим показатели степеней: $6^{x-1} = 6^{-2+2x+5} = 6^{2x+3}$.
Приравниваем показатели:
$x-1 = 2x+3$
$-1-3 = 2x-x$
$x = -4$
Ответ: $-4$.

10) Исходное уравнение: $32^{\frac{3}{5}x - 2} = 4^{6-\frac{3}{2}x}$.
Приведем обе части к общему основанию 2.
$32 = 2^5$ и $4 = 2^2$.
Подставим в уравнение:
$(2^5)^{\frac{3}{5}x - 2} = (2^2)^{6-\frac{3}{2}x}$
Раскроем скобки в показателях степеней:
$2^{5 \cdot (\frac{3}{5}x - 2)} = 2^{2 \cdot (6-\frac{3}{2}x)}$
$2^{3x - 10} = 2^{12 - 3x}$
Приравниваем показатели:
$3x - 10 = 12 - 3x$
$6x = 22$
$x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$
Ответ: $\frac{11}{3}$.

11) Исходное уравнение: $3^{x^2 - 9} = 7^{x^2 - 9}$.
Данное уравнение имеет вид $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, где основания $a=3$ и $b=7$ различны ($a, b > 0, a \neq b$). Такое равенство возможно только в том случае, когда показатель степени равен нулю, так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1.
$x^2 - 9 = 0$
Разложим на множители как разность квадратов:
$(x-3)(x+3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Ответ: $-3; 3$.

12) Исходное уравнение: $16^{5-3x} = 0,125^{5x-6}$.
Приведем обе части к общему основанию 2.
$16 = 2^4$
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
Подставляем в уравнение:
$(2^4)^{5-3x} = (2^{-3})^{5x-6}$
Раскроем скобки в показателях степеней:
$2^{4(5-3x)} = 2^{-3(5x-6)}$
$2^{20-12x} = 2^{-15x+18}$
Приравниваем показатели:
$20 - 12x = -15x + 18$
$15x - 12x = 18 - 20$
$3x = -2$
$x = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$.