Номер 1.34, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.34, страница 14.

1.34. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{\sin x}$

2) $y = 3^{|\sin x|} - 2$

1) $y = (\frac{1}{4})^{\sin x}$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения данной функции, мы должны проанализировать ее составляющие: показательную функцию и функцию синуса в показателе.

Область значений функции синуса, $t = \sin x$, это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{4})^t$. Основание степени $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Это означает, что показательная функция является убывающей. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, и наоборот.

Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $\sin x$, а наименьшее значение функции $y$ — при наибольшем значении показателя $\sin x$.

Наибольшее значение функции достигается, когда $\sin x = -1$:

$y_{наиб} = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$

Наименьшее значение функции достигается, когда $\sin x = 1$:

$y_{наим} = (\frac{1}{4})^{1} = \frac{1}{4}$

Ответ: наибольшее значение 4, наименьшее значение $\frac{1}{4}$.

2) $y = 3^{|\sin x|} - 2$

Проанализируем данную функцию. Она является композицией нескольких функций.

Сначала рассмотрим показатель степени $t = |\sin x|$. Мы знаем, что область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. При взятии модуля от значений на этом отрезке, мы получаем новую область значений: $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le |\sin x| \le 1$.

Теперь рассмотрим функцию $y = 3^t - 2$. Основание степени $a = 3$ больше 1 ($3 > 1$), следовательно, функция $y = 3^t$ является возрастающей. Вычитание константы 2 не меняет характер монотонности. Таким образом, функция $y = 3^t - 2$ также является возрастающей.

Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему — меньшее.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $|\sin x|$, а наибольшее значение функции $y$ — при наибольшем значении показателя $|\sin x|$.

Наименьшее значение функции достигается, когда $|\sin x| = 0$:

$y_{наим} = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1$

Наибольшее значение функции достигается, когда $|\sin x| = 1$:

$y_{наиб} = 3^1 - 2 = 3 - 2 = 1$

Ответ: наибольшее значение 1, наименьшее значение -1.