Номер 1.37, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.37, страница 15.

1.37. Представьте числа 1; 9; 81; $\frac{1}{27}$; $\sqrt{27}$; $\sqrt[5]{243}$ в виде степени с основанием:

1) 9;

2) $\frac{1}{9}$.

1) 9

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 9, мы будем использовать основные свойства степеней и корней. Общая стратегия для сложных чисел, таких как $\frac{1}{27}$ или $\sqrt{27}$, заключается в том, чтобы сначала представить и основание (9), и само число через степени более простого общего основания (в данном случае 3), а затем найти искомый показатель степени.

• Число 1: любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Следовательно, $1 = 9^0$.

• Число 9: любое число в степени 1 равно самому себе. Следовательно, $9 = 9^1$.

• Число 81: так как $81 = 9 \cdot 9$, то $81 = 9^2$.

• Число $\frac{1}{27}$: представим 9 и 27 как степени числа 3: $9=3^2$ и $27=3^3$. Тогда $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$. Нам нужно найти такое $x$, что $9^x = 3^{-3}$. Заменяя 9 на $3^2$, получаем $(3^2)^x = 3^{-3}$, или $3^{2x} = 3^{-3}$. Приравнивая показатели степеней, получаем $2x = -3$, откуда $x = -\frac{3}{2}$. Таким образом, $\frac{1}{27} = 9^{-3/2}$.

• Число $\sqrt{27}$: также используем основание 3: $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$. Нам нужно найти такое $x$, что $9^x = 3^{3/2}$. Заменяя 9 на $3^2$, получаем $(3^2)^x = 3^{3/2}$, или $3^{2x} = 3^{3/2}$. Приравнивая показатели, получаем $2x = \frac{3}{2}$, и $x = \frac{3}{4}$. Таким образом, $\sqrt{27} = 9^{3/4}$.

• Число $\sqrt[5]{243}$: сначала вычислим значение корня. Так как $243 = 3^5$, то $\sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3^1 = 3$. Теперь представим 3 в виде степени с основанием 9. Так как $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$, то $\sqrt[5]{243} = 9^{1/2}$.

Ответ: $9^0$; $9^1$; $9^2$; $9^{-3/2}$; $9^{3/4}$; $9^{1/2}$.

2) $\frac{1}{9}$

Теперь представим те же числа в виде степени с основанием $\frac{1}{9}$. Для этого удобно использовать свойство степеней $(a^{-1})^x = a^{-x}$ и тот факт, что $\frac{1}{9} = 9^{-1}$. Если мы уже знаем, что некоторое число $N = 9^x$, то мы можем легко найти его представление с основанием $\frac{1}{9}$: $N = 9^x = ((\frac{1}{9})^{-1})^x = (\frac{1}{9})^{-x}$. Это означает, что показатель степени будет иметь противоположный знак по сравнению с результатами из первого пункта.

• Число 1: $1 = 9^0$. Показатель 0 не меняет знак, поэтому $1 = (\frac{1}{9})^0$.

• Число 9: $9 = 9^1$. Меняем знак показателя: $9 = (\frac{1}{9})^{-1}$.

• Число 81: $81 = 9^2$. Меняем знак показателя: $81 = (\frac{1}{9})^{-2}$.

• Число $\frac{1}{27}$: $\frac{1}{27} = 9^{-3/2}$. Меняем знак показателя: $\frac{1}{27} = (\frac{1}{9})^{-(-3/2)} = (\frac{1}{9})^{3/2}$.

• Число $\sqrt{27}$: $\sqrt{27} = 9^{3/4}$. Меняем знак показателя: $\sqrt{27} = (\frac{1}{9})^{-3/4}$.

• Число $\sqrt[5]{243}$: $\sqrt[5]{243} = 9^{1/2}$. Меняем знак показателя: $\sqrt[5]{243} = (\frac{1}{9})^{-1/2}$.

Ответ: $(\frac{1}{9})^0$; $(\frac{1}{9})^{-1}$; $(\frac{1}{9})^{-2}$; $(\frac{1}{9})^{3/2}$; $(\frac{1}{9})^{-3/4}$; $(\frac{1}{9})^{-1/2}$.