Номер 1.33, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.33, страница 14.

Учебник.

1.33. Постройте график функции $y = \sqrt{2^{\cos x} - 2}$.

Решение.

Решение 2.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2\cos x - 2}$ необходимо сначала определить ее область определения.

Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это приводит к следующему неравенству: $2\cos x - 2 \ge 0$

Решим данное неравенство относительно $\cos x$: $2\cos x \ge 2$ $\cos x \ge 1$

Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного значения $x$ справедливо двойное неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, неравенство $\cos x \ge 1$ выполняется только в том случае, когда $\cos x$ принимает свое максимальное значение, равное 1. $\cos x = 1$

Уравнение $\cos x = 1$ имеет решения, когда аргумент $x$ равен $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, область определения функции — это не сплошной интервал, а дискретный набор точек: $x \in \{ \dots, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, \dots \}$.

Теперь вычислим значение функции $y$ в этих точках. Так как во всех этих точках $\cos x = 1$, подставляем это значение в исходную формулу: $y = \sqrt{2 \cdot 1 - 2} = \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0$.

Мы получили, что для всех допустимых значений $x$ значение функции $y$ равно 0.

Следовательно, график данной функции представляет собой набор изолированных точек, которые лежат на оси абсцисс (оси Ox). Координаты этих точек имеют вид $(2\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Примерами таких точек являются: $(0, 0)$, $(2\pi, 0)$, $(-2\pi, 0)$, $(4\pi, 0)$, и так далее.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2\cos x - 2}$ — это множество изолированных точек, лежащих на оси Ox и имеющих координаты $(2\pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).