Номер 1.35, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.35, страница 14.

Учебник.

1.35. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 6^{\cos x};$

2) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5.$

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 6^{\cos x}$, нужно проанализировать показательную функцию и ее показатель.

Основание степени равно 6, что больше 1. Это означает, что показательная функция $f(t) = 6^t$ является возрастающей. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $\cos x$, а наименьшее значение $y$ — при наименьшем значении показателя $\cos x$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Таким образом:

• Наибольшее значение показателя $\cos x$ равно 1.
  $y_{наиб} = 6^1 = 6$.
• Наименьшее значение показателя $\cos x$ равно -1.
  $y_{наим} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно $\frac{1}{6}$.

2) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5$.

Основание степени равно $\frac{1}{5}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Это означает, что показательная функция $f(t) = \left(\frac{1}{5}\right)^t$ является убывающей. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $|\cos x|$, а наименьшее значение $y$ — при наибольшем значении показателя $|\cos x|$.

Сначала найдем область значений показателя $|\cos x|$. Мы знаем, что $-1 \le \cos x \le 1$. При взятии модуля, область значений сужается до $0 \le |\cos x| \le 1$.

Таким образом:

• Наибольшее значение функции $y$ достигается, когда показатель $|\cos x|$ минимален, то есть $|\cos x| = 0$.
  $y_{наиб} = \left(\frac{1}{5}\right)^0 + 5 = 1 + 5 = 6$.
• Наименьшее значение функции $y$ достигается, когда показатель $|\cos x|$ максимален, то есть $|\cos x| = 1$.
  $y_{наим} = \left(\frac{1}{5}\right)^1 + 5 = \frac{1}{5} + 5 = 5\frac{1}{5} = 5.2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно $5.2$.