Номер 1.29, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.29, страница 14.

1.29. Определите графически количество корней уравнения:

1) $2^x = x;$

2) $2^x = x^2;$

3) $2^x = \sin x;$

4) $2^{-x} = 2 - x^2.$

1) $2^x = x$

Для определения количества корней уравнения $2^x = x$ построим графики функций $y = 2^x$ и $y = x$ в одной системе координат.

График функции $y = 2^x$ — это показательная функция (экспонента). Она проходит через точку $(0, 1)$, полностью лежит в верхней полуплоскости ($2^x > 0$ для любых $x$) и является монотонно возрастающей. При $x \to -\infty$, $y \to 0$.

График функции $y = x$ — это прямая, биссектриса первого и третьего координатных углов, проходящая через начало координат.

Сравним поведение функций. При $x \le 0$ значения функции $y=x$ неположительны ($x \le 0$), в то время как значения функции $y=2^x$ всегда строго положительны ($2^x > 0$). Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0]$ пересечений нет.

Рассмотрим $x > 0$. В точке $x=0$ имеем $2^0=1$, а $y=x$ равно 0. То есть экспонента выше прямой. Можно показать, что функция $y=2^x$ всегда лежит выше прямой $y=x$. Для этого рассмотрим функцию $f(x) = 2^x - x$. Её производная $f'(x) = 2^x \ln 2 - 1$ равна нулю в точке, где касательная к графику $y=2^x$ параллельна прямой $y=x$. Эта точка $x_{min} = \log_2(1/\ln 2)$ является точкой минимума функции $f(x)$. Минимальное значение $f(x_{min}) = \frac{1}{\ln 2} - \log_2(\frac{1}{\ln 2}) > 0$. Так как минимальное значение разности функций положительно, то $2^x > x$ для всех $x$.

Таким образом, графики функций $y = 2^x$ и $y = x$ не пересекаются.

Ответ: 0 корней.

2) $2^x = x^2$

Рассмотрим графики функций $y = 2^x$ и $y = x^2$.

График $y = 2^x$ — возрастающая экспонента, проходящая через $(0, 1)$.

График $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Сравним функции на разных промежутках:

1. При $x > 0$:
- Подбором легко найти два решения: $x=2$ (так как $2^2=4$ и $2^2=4$) и $x=4$ (так как $2^4=16$ и $4^2=16$).
- При $x \in (2, 4)$ парабола $y=x^2$ находится выше экспоненты $y=2^x$ (например, при $x=3$, $2^3=8 < 3^2=9$). При $x>4$ экспоненциальная функция растет быстрее квадратичной, поэтому других пересечений при $x>4$ нет. При $x \in (0, 2)$ экспонента выше параболы. Таким образом, для $x>0$ есть две точки пересечения.

2. При $x \le 0$:
- В точке $x=0$ имеем $2^0=1$ и $0^2=0$, пересечения нет.
- При $x<0$ рассмотрим уравнение. Пусть $x=-t$, где $t>0$. Уравнение принимает вид $2^{-t} = (-t)^2$, или $(1/2)^t = t^2$. Функция $y=(1/2)^t$ — монотонно убывающая (от 1 до 0), а функция $y=t^2$ — монотонно возрастающая (от 0 до $\infty$). На промежутке $t>0$ графики таких функций могут пересечься только один раз. Поскольку при $t \to 0^+$ имеем $(1/2)^t \to 1 > t^2 \to 0$, а при $t=1$ имеем $(1/2)^1=0.5 < 1^2=1$, то по теореме о промежуточном значении пересечение существует. Значит, для $x<0$ существует ровно один корень.

Суммируя, получаем одну точку пересечения при $x<0$ и две точки при $x>0$. Всего три точки пересечения.

Ответ: 3 корня.

3) $2^x = \sin x$

Рассмотрим графики функций $y = 2^x$ и $y = \sin x$.

График $y = 2^x$ — возрастающая экспонента, $y>0$ для всех $x$.

График $y = \sin x$ — синусоида, периодическая функция с областью значений $[-1, 1]$.

1. При $x \ge 0$:
- В точке $x=0$ имеем $2^0=1$, а $\sin 0 = 0$.
- При $x > 0$, $2^x > 1$. В то же время, $\sin x \le 1$. Таким образом, равенство $2^x = \sin x$ невозможно. Пересечений нет.

2. При $x < 0$:
- На этом промежутке $0 < 2^x < 1$.
- Пересечения возможны только там, где $\sin x > 0$. Это происходит на интервалах вида $(-(2k)\pi, -(2k-1)\pi)$ для целых $k \ge 1$.
- Рассмотрим первый такой интервал $(-2\pi, -\pi)$. На нем функция $y=\sin x$ образует "арку", начинаясь с 0, достигая 1 в точке $x=-3\pi/2$ и снова опускаясь до 0. Функция $y=2^x$ на этом интервале монотонно убывает от $2^{-\pi}$ до $2^{-2\pi}$. Так как $0 < 2^{-2\pi} < 2^{-\pi} < 1$, а максимальное значение $\sin x$ равно 1, график синуса обязательно пересечет график экспоненты. Поскольку $\sin x$ сначала возрастает от 0 до 1, а затем убывает от 1 до 0, а $2^x$ монотонно убывает, будет ровно две точки пересечения на этом интервале.
- Аналогичная ситуация повторяется на каждом интервале $(-(2k)\pi, -(2k-1)\pi)$ для $k=2, 3, 4, \dots$. На каждом из этих бесконечно многих интервалов функция $\sin x$ имеет положительную "арку", которая пересекает почти горизонтальную линию графика $y=2^x$ (значения $2^x$ очень малы для больших по модулю отрицательных $x$) в двух точках.

Следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: бесконечно много корней.

4) $2^{-x} = 2 - x^2$

Рассмотрим графики функций $y = 2^{-x}$ и $y = 2 - x^2$.

График $y = 2^{-x}$ (или $y=(1/2)^x$) — это монотонно убывающая экспонента, проходящая через точку $(0, 1)$.

График $y = 2 - x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями вниз. Она пересекает ось Ox в точках $x = \pm\sqrt{2}$.

Сравним поведение функций:

1. В точке $x=0$: $y=2^{-0}=1$, $y=2-0^2=2$. Парабола выше экспоненты.

2. При $x > 0$:
- В точке $x=1$: $y=2^{-1}=0.5$, $y=2-1^2=1$. Парабола все еще выше.
- В точке $x=\sqrt{2} \approx 1.41$: $y=2-\left(\sqrt{2}\right)^2=0$, а $y=2^{-\sqrt{2}}>0$. Теперь экспонента выше.
- Поскольку в точке $x=1$ парабола была выше, а в точке $x=\sqrt{2}$ ниже, и обе функции непрерывны, между $x=1$ и $x=\sqrt{2}$ должна быть точка пересечения. Так как при $x>\sqrt{2}$ парабола отрицательна, а экспонента всегда положительна, то других пересечений при $x>0$ нет. Итак, один корень при $x>0$.

3. При $x < 0$:
- В точке $x=-1$: $y=2^{-(-1)}=2^1=2$, $y=2-(-1)^2=1$. Теперь экспонента выше параболы.
- Мы видели, что в $x=0$ парабола была выше ($y=2$), а в $x=-1$ уже экспонента выше ($y=2$). Следовательно, между $x=-1$ и $x=0$ есть точка пересечения.
- Исследуем поведение при $x \to -\infty$. Функция $y=2^{-x}$ стремится к $+\infty$, а $y=2-x^2$ стремится к $-\infty$. Поскольку при $x=-1$ экспонента выше, и она продолжает расти, а парабола — убывать, они больше не пересекутся. На промежутке $x<0$ функция $y=2^{-x}$ возрастает, а $y=2-x^2$ сначала возрастает (до $x=0$), а затем убывает. Графически видно, что после пересечения в интервале $(-1, 0)$ экспонента всегда будет находиться выше параболы.

Таким образом, есть одна точка пересечения при $x<0$ и одна точка пересечения при $x>0$. Всего две точки пересечения.

Ответ: 2 корня.