Номер 1.25, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.25, страница 13.

Учебник.

1.25. Постройте график функции:

1) $y = 3^x + 1;$

2) $y = 3^{x+1};$

3) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2;$

4) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2};$

5) $y = -\left(\frac{1}{3}\right)^x;$

6) $y = -3^x - 1.$

Решение.

Решение 2.

1) $y = 3^x + 1$

Для построения этого графика мы будем использовать преобразования графика базовой показательной функции $y = 3^x$.

Сначала построим график функции $y = 3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через характерные точки, например, $(0, 1)$ и $(1, 3)$. Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является её горизонтальной асимптотой.

Далее, чтобы получить график функции $y = 3^x + 1$, необходимо сдвинуть (выполнить параллельный перенос) график $y = 3^x$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

При этом сдвиге точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, 2)$, а точка $(1, 3)$ — в точку $(1, 4)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сместится на 1 единицу вверх и станет прямой $y=1$.

Ответ: График функции $y = 3^x + 1$ получается из графика функции $y = 3^x$ сдвигом на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота — $y=1$.

2) $y = 3^{x+1}$

График этой функции строится на основе графика $y = 3^x$.

Сначала построим график функции $y = 3^x$.

Чтобы получить график функции $y = 3^{x+1}$, необходимо сдвинуть график $y = 3^x$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

При этом сдвиге точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(-1, 1)$, а точка $(1, 3)$ — в точку $(0, 3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при горизонтальном сдвиге не изменится.

Ответ: График функции $y = 3^{x+1}$ получается из графика функции $y = 3^x$ сдвигом на 1 единицу влево. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

3) $y = (\frac{1}{3})^x - 2$

Для построения этого графика мы будем использовать преобразования графика базовой показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Сначала построим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это убывающая кривая (так как основание $1/3 < 1$), проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 3)$. Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является её горизонтальной асимптотой.

Чтобы получить график функции $y = (\frac{1}{3})^x - 2$, необходимо сдвинуть график $y = (\frac{1}{3})^x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

При этом сдвиге точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, -1)$, а точка $(-1, 3)$ — в точку $(-1, 1)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 2 единицы вниз и станет прямой $y=-2$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x - 2$ получается из графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$ сдвигом на 2 единицы вниз. Горизонтальная асимптота — $y=-2$.

4) $y = (\frac{1}{3})^{x-2}$

График этой функции строится на основе графика $y = (\frac{1}{3})^x$.

Сначала построим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Чтобы получить график функции $y = (\frac{1}{3})^{x-2}$, необходимо сдвинуть график $y = (\frac{1}{3})^x$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

При этом сдвиге точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(2, 1)$, а точка $(-1, 3)$ — в точку $(1, 3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменится. Точка пересечения с осью $Oy$ будет $(0, 9)$, так как $y(0) = (\frac{1}{3})^{0-2} = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^{x-2}$ получается из графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$ сдвигом на 2 единицы вправо. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

5) $y = -(\frac{1}{3})^x$

График этой функции строится на основе графика $y = (\frac{1}{3})^x$.

Сначала построим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Чтобы получить график функции $y = -(\frac{1}{3})^x$, необходимо отразить график $y = (\frac{1}{3})^x$ симметрично относительно оси $Ox$.

При этом отражении ордината каждой точки меняет свой знак на противоположный. Точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, -1)$, а точка $(-1, 3)$ — в точку $(-1, -3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$) является осью симметрии и останется на месте.

Ответ: График функции $y = -(\frac{1}{3})^x$ получается из графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$ симметричным отражением относительно оси $Ox$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

6) $y = -3^x - 1$

Для построения этого графика мы будем использовать последовательность преобразований графика функции $y = 3^x$.

1. Строим график функции $y = 3^x$.

2. Отражаем график $y = 3^x$ симметрично относительно оси $Ox$. Получаем график промежуточной функции $y = -3^x$. Точка $(0, 1)$ переходит в $(0, -1)$, точка $(1, 3)$ — в $(1, -3)$. Асимптота $y=0$ не меняется.

3. Сдвигаем график $y = -3^x$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Получаем искомый график $y = -3^x - 1$.

При этом сдвиге точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, -2)$, а точка $(1, -3)$ — в точку $(1, -4)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 1 единицу вниз и станет прямой $y=-1$.

Ответ: График функции $y = -3^x - 1$ получается из графика $y = 3^x$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$ с последующим сдвигом на 1 единицу вниз. Горизонтальная асимптота — $y=-1$.