Номер 1.18, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.18, страница 12.

1.18. Найдите область значений функции:

1) $y = -9x$;

2) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x + 1$;

3) $y = 7^x - 4$;

4) $y = 6^{|x|}$.

1) Функция $y = -9^x$.
Область значений показательной функции $f(x) = 9^x$ — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $9^x > 0$.
Функция $y = -9^x$ получается путем умножения значений функции $f(x) = 9^x$ на -1. При умножении обеих частей неравенства $9^x > 0$ на -1, знак неравенства меняется на противоположный: $-9^x < 0$.
Следовательно, все значения функции $y = -9^x$ являются отрицательными.
Таким образом, область значений функции — это интервал $(-\infty; 0)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

2) Функция $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x + 1$.
Рассмотрим сначала показательную функцию $g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x$. Область ее значений — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(g) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0$.
Функция $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x + 1$ получается путем прибавления 1 к значениям функции $g(x)$. Это соответствует сдвигу графика функции $g(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $\left(\frac{1}{5}\right)^x + 1 > 0 + 1$, что эквивалентно $y > 1$.
Следовательно, все значения функции $y$ строго больше 1.
Таким образом, область значений функции — это интервал $(1; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

3) Функция $y = 7^x - 4$.
Рассмотрим сначала показательную функцию $h(x) = 7^x$. Область ее значений — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(h) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $7^x > 0$.
Функция $y = 7^x - 4$ получается путем вычитания 4 из значений функции $h(x)$. Это соответствует сдвигу графика функции $h(x)$ на 4 единицы вниз вдоль оси ординат.
Вычтем 4 из всех частей неравенства: $7^x - 4 > 0 - 4$, что эквивалентно $y > -4$.
Следовательно, все значения функции $y$ строго больше -4.
Таким образом, область значений функции — это интервал $(-4; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (-4; +\infty)$.

4) Функция $y = 6^{|x|}$.
Показатель степени в данной функции — это модуль числа $x$, то есть $|x|$. Область значений функции модуля — это множество всех неотрицательных чисел, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$.
Наша функция имеет вид $y = 6^u$, где $u = |x|$ и $u \ge 0$.
Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция $f(u) = 6^u$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $u$ соответствует большее значение функции.
Наименьшее значение аргумента $u$ равно 0 (достигается при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет $y_{min} = 6^0 = 1$.
Поскольку $u=|x|$ может принимать любое значение от 0 до $+\infty$, функция $y=6^u$ будет принимать значения от $6^0=1$ до $+\infty$.
Таким образом, область значений функции — это множество всех чисел, больших или равных 1.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.