Номер 1.15, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.15, страница 12.

1.15. Упростите выражение:

1) $ (a^{\sqrt{5}} + 2)(a^{\sqrt{5}} - 2) - (a^{\sqrt{5}} + 3)^2; $

2) $ \frac{a^{2\sqrt{7}} - a^{\sqrt{7}}}{a^{4\sqrt{7}} - a^{3\sqrt{7}}}; $

3) $ \frac{a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}}}{(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2} + 1; $

4) $ \frac{a^{\sqrt[3]{24}} - 1}{a^{\sqrt{3}} - 1} - \frac{a^{\sqrt[3]{81}} + 1}{a^{\sqrt{3}} + 1}. $

1) $(a^{\sqrt{5}} + 2)(a^{\sqrt{5}} - 2) - (a^{\sqrt{5}} + 3)^2$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Первое произведение $(a^{\sqrt{5}} + 2)(a^{\sqrt{5}} - 2)$ является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$. Второе выражение $(a^{\sqrt{5}} + 3)^2$ является квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Раскроем первую часть:

$(a^{\sqrt{5}} + 2)(a^{\sqrt{5}} - 2) = (a^{\sqrt{5}})^2 - 2^2 = a^{2\sqrt{5}} - 4$.

Раскроем вторую часть:

$(a^{\sqrt{5}} + 3)^2 = (a^{\sqrt{5}})^2 + 2 \cdot a^{\sqrt{5}} \cdot 3 + 3^2 = a^{2\sqrt{5}} + 6a^{\sqrt{5}} + 9$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(a^{2\sqrt{5}} - 4) - (a^{2\sqrt{5}} + 6a^{\sqrt{5}} + 9) = a^{2\sqrt{5}} - 4 - a^{2\sqrt{5}} - 6a^{\sqrt{5}} - 9$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^{2\sqrt{5}} - a^{2\sqrt{5}}) - 6a^{\sqrt{5}} - 4 - 9 = -6a^{\sqrt{5}} - 13$.

Ответ: $-6a^{\sqrt{5}} - 13$

2) $\frac{a^{2\sqrt{7}} - a^{\sqrt{7}}}{a^{4\sqrt{7}} - a^{3\sqrt{7}}}$

Для упрощения дроби вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель это $a^{\sqrt{7}}$: $a^{2\sqrt{7}} - a^{\sqrt{7}} = a^{\sqrt{7}}(a^{\sqrt{7}} - 1)$.

В знаменателе общий множитель это $a^{3\sqrt{7}}$: $a^{4\sqrt{7}} - a^{3\sqrt{7}} = a^{3\sqrt{7}}(a^{\sqrt{7}} - 1)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{a^{\sqrt{7}}(a^{\sqrt{7}} - 1)}{a^{3\sqrt{7}}(a^{\sqrt{7}} - 1)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{7}} - 1)$ (при условии $a^{\sqrt{7}} \neq 1$):

$\frac{a^{\sqrt{7}}}{a^{3\sqrt{7}}}$.

Используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$a^{\sqrt{7} - 3\sqrt{7}} = a^{-2\sqrt{7}}$.

Ответ: $a^{-2\sqrt{7}}$

3) $\frac{a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}}}{(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2} + 1$

Сначала упростим дробь. Числитель $a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}}$ можно представить как $(a^{\sqrt{3}})^2 - (b^{\sqrt{2}})^2$ и разложить по формуле разности квадратов:

$(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})$.

Подставим это в дробь:

$\frac{(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})}{(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2}$.

Сократим на общий множитель $(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})$:

$\frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}$.

Теперь добавим 1 к полученной дроби, приведя к общему знаменателю:

$\frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} + 1 = \frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} + \frac{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}$.

Сложим числители:

$\frac{(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}) + (a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} = \frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} = \frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}$.

Ответ: $\frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}$

4) $\frac{a^{\sqrt[3]{24}} - 1}{a^{\sqrt[3]{3}} - 1} - \frac{a^{\sqrt[3]{81}} + 1}{a^{\sqrt[3]{3}} + 1}$

Упростим показатели степеней, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{a^{2\sqrt[3]{3}} - 1}{a^{\sqrt[3]{3}} - 1} - \frac{a^{3\sqrt[3]{3}} + 1}{a^{\sqrt[3]{3}} + 1}$.

Введем замену $x = a^{\sqrt[3]{3}}$ для упрощения записи:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} - \frac{x^3 + 1}{x + 1}$.

Упростим каждую дробь, используя формулу разности квадратов $x^2-1=(x-1)(x+1)$ и формулу суммы кубов $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$:

Первая дробь: $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$.

Вторая дробь: $\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1} = x^2 - x + 1$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно и выполним вычитание:

$(x + 1) - (x^2 - x + 1) = x + 1 - x^2 + x - 1 = 2x - x^2$.

Выполним обратную замену $x = a^{\sqrt[3]{3}}$:

$2a^{\sqrt[3]{3}} - (a^{\sqrt[3]{3}})^2 = 2a^{\sqrt[3]{3}} - a^{2\sqrt[3]{3}}$.

Ответ: $2a^{\sqrt[3]{3}} - a^{2\sqrt[3]{3}}$