Номер 1.21, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.21, страница 13.

1.21. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ равно 27, а наименьшее равно $\frac{1}{9}$?

Дана показательная функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Основание этой функции $a = \frac{1}{3}$. Поскольку основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, данная функция является строго убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Согласно условию, на искомом промежутке $[x_{min}, x_{max}]$ наибольшее значение функции равно 27, а наименьшее равно $\frac{1}{9}$.

Так как функция убывающая, свое наибольшее значение она принимает на левом конце промежутка (при наименьшем значении $x$), а наименьшее значение — на правом конце промежутка (при наибольшем значении $x$).

1. Найдем значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, равное 27:
$y_{max} = 27$
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 27$
Представим обе части уравнения как степени с одним основанием. Удобно использовать основание 3:
$(3^{-1})^x = 3^3$
$3^{-x} = 3^3$
Приравнивая показатели степени, получаем:
$-x = 3$
$x = -3$
Это левая граница искомого промежутка.

2. Найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, равное $\frac{1}{9}$:
$y_{min} = \frac{1}{9}$
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{9}$
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{3}$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^2$
Приравнивая показатели степени, получаем:
$x = 2$
Это правая граница искомого промежутка.

Таким образом, функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ принимает значения от $\frac{1}{9}$ до 27 на промежутке $[-3; 2]$.

Ответ: $[-3; 2]$.