Номер 1.22, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.22, страница 13.

1.22. Решите неравенство:

1) $2^x > -1$;

2) $2^{\sqrt{x}} > -2$.

1)

Рассмотрим неравенство $2^x > -1$.

Левая часть неравенства представляет собой показательную функцию $y = 2^x$. Область значений показательной функции с основанием больше 1 (в данном случае основание равно 2) — это все положительные действительные числа. То есть, для любого действительного числа $x$ значение $2^x$ всегда будет больше нуля: $2^x > 0$.

Так как любое положительное число заведомо больше любого отрицательного числа, то неравенство $2^x > -1$ будет выполняться для всех возможных значений $x$. Область определения функции $y = 2^x$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2)

Рассмотрим неравенство $2^{\sqrt{x}} > -2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как $x$ находится под знаком квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

Как и в предыдущем пункте, левая часть неравенства, $2^{\sqrt{x}}$, является показательной функцией. Для любого $x$ из ОДЗ, то есть для $x \ge 0$, выражение $2^{\sqrt{x}}$ будет принимать только положительные значения: $2^{\sqrt{x}} > 0$.

Поскольку любое положительное число больше, чем -2, неравенство $2^{\sqrt{x}} > -2$ справедливо для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Таким образом, решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.