Номер 1.26, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.26, страница 13.

1.26. График какой из функций, изображённых на рисунке 1.9, пересекает график функции $y = 5^x$ более чем в одной точке?

Рис. 1.9

a

б

в

Для решения задачи необходимо найти уравнения для каждой из прямых, изображенных на рисунках, а затем проанализировать количество точек пересечения каждой из них с графиком показательной функции $y = 5^x$.

Функция $y = 5^x$ является строго возрастающей и выпуклой вниз. Это означает, что любая прямая может пересекать ее график не более чем в двух точках. График функции $y=5^x$ проходит через точку $(0, 1)$ и всегда находится выше оси абсцисс ($y>0$).

а

На рисунке 'а' изображена прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Так как прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 5)$, свободный член $b=5$. Угловой коэффициент $k$ найдем по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 5}{5 - 0} = -1$. Таким образом, уравнение прямой 'а' — $y = -x + 5$.

Точки пересечения находятся из уравнения $5^x = -x + 5$. Левая часть уравнения, $f(x) = 5^x$, — строго возрастающая функция. Правая часть, $g(x) = -x + 5$, — строго убывающая функция. Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более одного раза. Следовательно, у этого уравнения не более одного решения.

Ответ: График 'а' имеет одну точку пересечения с графиком функции $y=5^x$.

б

На рисунке 'б' изображена прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(-5, 0)$. Из точки $(0, 5)$ следует, что $b=5$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - 5}{-5 - 0} = 1$. Уравнение прямой 'б' — $y = x + 5$.

Точки пересечения находятся из уравнения $5^x = x + 5$. Рассмотрим функции $f(x) = 5^x$ и $g(x) = x + 5$. При $x=1$ имеем $5^1 = 5$, а $1+5 = 6$, то есть $f(1) < g(1)$. При $x=2$ имеем $5^2 = 25$, а $2+5 = 7$, то есть $f(2) > g(2)$. Поскольку на отрезке $[1, 2]$ непрерывные функции поменяли взаимное расположение, между $x=1$ и $x=2$ есть одна точка пересечения. Аналогично, для отрицательных $x$: при $x=-1$ имеем $5^{-1} = 0.2$, а $-1+5 = 4$, то есть $f(-1) < g(-1)$. При $x=-5$ имеем $5^{-5} > 0$, а $-5+5 = 0$, то есть $f(-5) > g(-5)$. Следовательно, на отрезке $[-5, -1]$ есть еще одна точка пересечения. Так как прямая может пересекать выпуклую функцию $y=5^x$ не более двух раз, мы нашли обе точки пересечения.

Ответ: График 'б' имеет две точки пересечения с графиком функции $y=5^x$.

в

На рисунке 'в' изображена прямая, проходящая через точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$. Из точки $(0, -5)$ следует, что $b=-5$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - (-5)}{-5 - 0} = -1$. Уравнение прямой 'в' — $y = -x - 5$.

Точки пересечения находятся из уравнения $5^x = -x - 5$. Функция $y=5^x$ всегда положительна ($y>0$). Прямая $y=-x-5$ положительна только при $-x - 5 > 0$, то есть при $x < -5$. Следовательно, возможное пересечение может быть только в области $x < -5$. В этой области функция $f(x)=5^x$ возрастает, а $g(x)=-x-5$ убывает, поэтому у них может быть не более одной точки пересечения.

Ответ: График 'в' имеет одну точку пересечения с графиком функции $y=5^x$.

Таким образом, единственным графиком, который пересекает график функции $y = 5^x$ более чем в одной точке, является график 'б'.