Номер 1.32, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.32, страница 14.

Учебник.

1.32. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3^{|x|}}$;

2) $y = 3^{|x|} - 1$;

3) $y = |3^x - 1|$.

Решение.

Решение 2.

1) $y = \frac{1}{3^{|x|}}$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графиков.

Сначала заметим, что функцию можно переписать в виде $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$.

Эта функция является четной, так как $y(-x) = (\frac{1}{3})^{|-x|} = (\frac{1}{3})^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. Построение графика для $x \ge 0$.
   При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$. График такой функции является убывающей кривой.

   • Найдем несколько ключевых точек:

     • При $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.

     • При $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. Точка $(1, \frac{1}{3})$.

     • При $x = 2$, $y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$. Точка $(2, \frac{1}{9})$.

   • При $x \to +\infty$, $y \to 0$. Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

2. Построение полного графика.
   Так как функция четная, отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy. Ветвь графика для $x < 0$ будет зеркальным отображением ветви для $x > 0$. Например, точка $(1, \frac{1}{3})$ отразится в точку $(-1, \frac{1}{3})$. График для $x < 0$ описывается функцией $y = (\frac{1}{3})^{-x} = 3^x$, что является возрастающей кривой.

Итоговый график имеет "шапку" или "пик" в точке $(0, 1)$, симметричен относительно оси Oy и приближается к оси Ox при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Для его построения сначала строится график убывающей показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$ для $x \ge 0$, который проходит через точку $(0,1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Затем эта часть графика отражается симметрично относительно оси Oy для получения части графика при $x < 0$.

2) $y = 3^{|x|} - 1$

Данный график также можно построить с помощью последовательных преобразований.

Заметим, что эта функция также является четной, так как $y(-x) = 3^{|-x|} - 1 = 3^{|x|} - 1 = y(x)$. График будет симметричен относительно оси Oy.

Можно использовать следующий алгоритм:

1. Строим базовый график $y = 3^x$.
   Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

2. Преобразуем в $y = 3^{|x|}$.
   Это преобразование вида $f(x) \to f(|x|)$. Для этого часть графика $y=3^x$ при $x \ge 0$ оставляем без изменений, а часть при $x < 0$ отбрасываем и заменяем ее симметричным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси Oy. Получаем V-образный график с криволинейными ветвями и "вершиной" в точке $(0, 1)$.

3. Преобразуем в $y = 3^{|x|} - 1$.
   Это сдвиг всего графика $y=3^{|x|}$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. "Вершина" из точки $(0, 1)$ переместится в точку $(0, 0)$. Все остальные точки также сместятся на 1 вниз. Например, точки $(1, 3)$ и $(-1, 3)$ на графике $y=3^{|x|}$ переместятся в точки $(1, 2)$ и $(-1, 2)$ соответственно.

Итоговый график симметричен относительно оси Oy, проходит через начало координат $(0, 0)$ и обе его ветви уходят вверх при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он получается из графика функции $y=3^x$ путем следующих преобразований: сначала часть графика для $x \ge 0$ отражается симметрично относительно оси Oy, а затем полученный график сдвигается на 1 единицу вниз. График имеет минимум в точке $(0,0)$.

3) $y = |3^x - 1|$

Для построения этого графика воспользуемся преобразованием $y = |f(x)|$.

Алгоритм построения следующий:

1. Сначала строим график функции $y = 3^x - 1$.
   Этот график получается из графика $y = 3^x$ сдвигом на 1 единицу вниз по оси Oy.

   • Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=-1$.

   • Точка пересечения с осью Oy смещается из $(0, 1)$ в $(0, 0)$.

   • График пересекает ось Ox в точке, где $3^x - 1 = 0$, то есть $3^x = 1$, что дает $x=0$.

   • При $x > 0$, $y > 0$. При $x < 0$, $y < 0$.

2. Применяем операцию модуля: $y = |3^x - 1|$.
   Правило преобразования $y=|f(x)|$ гласит:

   • Часть графика $y=f(x)$, которая находится выше или на оси Ox ($y \ge 0$), остается без изменений.

   • Часть графика, которая находится ниже оси Ox ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.

   В нашем случае:

   • Для $x \ge 0$, график $y = 3^x - 1$ находится на или выше оси Ox. Эту часть оставляем как есть. Это возрастающая кривая, выходящая из точки $(0,0)$.

   • Для $x < 0$, график $y = 3^x - 1$ находится ниже оси Ox. Эту часть отражаем симметрично относительно оси Ox. Горизонтальная асимптота $y=-1$ отразится в асимптоту $y=1$. Таким образом, при $x \to -\infty$, график будет приближаться к прямой $y=1$ сверху.

Итоговый график состоит из двух "ветвей", сходящихся в точке $(0, 0)$. Правая ветвь ($x>0$) уходит вверх, а левая ($x<0$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$.

Ответ: График строится из графика функции $y = 3^x - 1$. Часть графика $y = 3^x - 1$, лежащая выше или на оси Ox (при $x \ge 0$), остается без изменений. Часть графика, лежащая ниже оси Ox (при $x < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. В результате, график проходит через начало координат $(0,0)$, при $x > 0$ возрастает, а при $x < 0$ убывает, асимптотически приближаясь к прямой $y=1$.