Номер 2.4, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 2. Показательные уравнения. Упражнения - номер 2.4, страница 19.

Учебник.

2.4. Решите уравнение:

1) $5^{x+1} + 5^x = 150$;

2) $2^x + 2^{x-3} = 18$;

3) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x-1} = 347$;

4) $4^x - 3 \cdot 4^{x-2} = 52$.

Решение.

Решение 2.

1) $5^{x+1} + 5^x = 150$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать первое слагаемое:

$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$5 \cdot 5^x + 5^x = 150$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(5 + 1) = 150$

$5^x \cdot 6 = 150$

Разделим обе части уравнения на 6:

$5^x = \frac{150}{6}$

$5^x = 25$

Представим 25 как степень числа 5:

$5^x = 5^2$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: $x=2$

2) $2^x + 2^{x-3} = 18$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, чтобы преобразовать второе слагаемое:

$2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{8} = 18$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + \frac{1}{8}) = 18$

$2^x(\frac{8}{8} + \frac{1}{8}) = 18$

$2^x \cdot \frac{9}{8} = 18$

Выразим $2^x$:

$2^x = 18 \cdot \frac{8}{9}$

$2^x = 2 \cdot 8$

$2^x = 16$

Представим 16 как степень числа 2:

$2^x = 2^4$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 4$

Ответ: $x=4$

3) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x-1} = 347$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^x$

$7^{x-1} = \frac{7^x}{7^1} = \frac{7^x}{7}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$49 \cdot 7^x + 4 \cdot \frac{7^x}{7} = 347$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(49 + \frac{4}{7}) = 347$

$7^x(\frac{49 \cdot 7}{7} + \frac{4}{7}) = 347$

$7^x(\frac{343 + 4}{7}) = 347$

$7^x \cdot \frac{347}{7} = 347$

Разделим обе части уравнения на 347:

$\frac{7^x}{7} = 1$

$7^x = 7$

Представим 7 как $7^1$:

$7^x = 7^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: $x=1$

4) $4^x - 3 \cdot 4^{x-2} = 52$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$4^{x-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4^x - 3 \cdot \frac{4^x}{16} = 52$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x(1 - \frac{3}{16}) = 52$

$4^x(\frac{16}{16} - \frac{3}{16}) = 52$

$4^x \cdot \frac{13}{16} = 52$

Выразим $4^x$:

$4^x = 52 \cdot \frac{16}{13}$

$4^x = 4 \cdot 16$

$4^x = 64$

Представим 64 как степень числа 4:

$4^x = 4^3$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 3$

Ответ: $x=3$