Номер 2.11, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.11, страница 20.

2.11. Решите уравнение:

1) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 = 0;$

2) $4^{x+1} + 4^{1-x} = 10;$

3) $5^{2x-3} - 2 \cdot 5^{x-2} = 3;$

4) $9^x - 6 \cdot 3^{x-1} = 3;$

5) $3^{x+1} + 3^{2-x} = 28;$

6) $\frac{9}{2^x - 1} - \frac{21}{2^x + 1} = 2.$

1) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{mn} = (a^m)^n$:

$2 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Выполним обратную замену:

1. $2^x = t_1 = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$.

2. $2^x = t_2 = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

---

2) $4^{x+1} + 4^{1-x} = 10$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$4 \cdot 4^x + \frac{4}{4^x} = 10$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Условие: $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$4t + \frac{4}{t} = 10$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$4t^2 + 4 = 10t$

$4t^2 - 10t + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Это то же квадратное уравнение, что и в предыдущей задаче. Его корни $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 2$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. $4^x = t_1 = \frac{1}{2} \implies (2^2)^x = 2^{-1} \implies 2^{2x} = 2^{-1} \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.

2. $4^x = t_2 = 2 \implies (2^2)^x = 2^1 \implies 2^{2x} = 2^1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = -0.5, x_2 = 0.5$.

---

3) $5^{2x-3} - 2 \cdot 5^{x-2} = 3$

Преобразуем степени:

$5^{2x} \cdot 5^{-3} - 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-2} = 3$

$\frac{(5^x)^2}{125} - \frac{2 \cdot 5^x}{25} = 3$

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$.

$\frac{t^2}{125} - \frac{2t}{25} = 3$

Умножим обе части на 125, чтобы избавиться от знаменателей:

$t^2 - 2t \cdot 5 = 3 \cdot 125$

$t^2 - 10t - 375 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-375) = 100 + 1500 = 1600 = 40^2$

Корни:

$t_1 = \frac{10 - 40}{2} = -15$

$t_2 = \frac{10 + 40}{2} = 25$

Так как $t > 0$, корень $t_1 = -15$ является посторонним. Используем $t_2 = 25$.

Выполним обратную замену:

$5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

---

4) $9^x - 6 \cdot 3^{x-1} = 3$

Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$ и $3^{x-1}$ как $\frac{3^x}{3}$:

$(3^x)^2 - 6 \cdot \frac{3^x}{3} = 3$

$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x = 3$

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 2t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Так как $t > 0$, корень $t_2 = -1$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t=3$:

$3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

---

5) $3^{x+1} + 3^{2-x} = 28$

Преобразуем степени:

$3 \cdot 3^x + \frac{3^2}{3^x} = 28$

$3 \cdot 3^x + \frac{9}{3^x} = 28$

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

$3t + \frac{9}{t} = 28$

Умножим обе части на $t$:

$3t^2 + 9 = 28t$

$3t^2 - 28t + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2$

Корни:

$t_1 = \frac{28 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{28 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9$

Оба корня положительны. Выполним обратную замену для каждого корня:

1. $3^x = t_1 = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$.

2. $3^x = t_2 = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

---

6) $\frac{9}{2^x - 1} - \frac{21}{2^x + 1} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$2^x - 1 \neq 0 \implies 2^x \neq 1 \implies x \neq 0$.

Выражение $2^x + 1$ всегда больше нуля, поэтому дополнительных ограничений нет.

Сделаем замену $t = 2^x$. Условия для $t$: $t > 0$ и $t \neq 1$.

$\frac{9}{t - 1} - \frac{21}{t + 1} = 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(t-1)(t+1) = t^2 - 1$:

$\frac{9(t+1) - 21(t-1)}{t^2 - 1} = 2$

$\frac{9t + 9 - 21t + 21}{t^2 - 1} = 2$

$\frac{-12t + 30}{t^2 - 1} = 2$

Умножим обе части на $t^2 - 1$ (так как $t \neq 1$):

$-12t + 30 = 2(t^2 - 1)$

$-12t + 30 = 2t^2 - 2$

$2t^2 + 12t - 32 = 0$

Разделим на 2:

$t^2 + 6t - 16 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = -8$ и $t_2 = 2$.

Проверим корни по условиям для $t$. $t_1 = -8$ не подходит, так как $t > 0$. Корень $t_2=2$ подходит, так как $2 > 0$ и $2 \neq 1$.

Выполним обратную замену:

$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = 1$.