Страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.3. Решите уравнение:

1) $3^{x+2} + 3^x = 30$;

2) $4^{x+1} + 4^{x-2} = 260$;

3) $2^{x+4} - 2^x = 120$;

4) $7^{x+1} + 4 \cdot 7^x = 77$;

5) $5^x + 7 \cdot 5^{x-2} = 160$;

6) $6^{x+1} - 4 \cdot 6^{x-1} = 192$.

1) $3^{x+2} + 3^x = 30$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем уравнение. Затем вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \cdot 3^2 + 3^x = 30$

$3^x(3^2 + 1) = 30$

$3^x(9 + 1) = 30$

$3^x \cdot 10 = 30$

Разделим обе части на 10:

$3^x = 3$

Представим 3 как $3^1$:

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Ответ: 1.

2) $4^{x+1} + 4^{x-2} = 260$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$. Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x \cdot 4^1 + 4^x \cdot 4^{-2} = 260$

$4^x(4 + 4^{-2}) = 260$

$4^x(4 + \frac{1}{16}) = 260$

$4^x(\frac{64}{16} + \frac{1}{16}) = 260$

$4^x \cdot \frac{65}{16} = 260$

Найдем $4^x$:

$4^x = 260 \cdot \frac{16}{65}$

$4^x = 4 \cdot 16$

$4^x = 64$

Представим 64 как степень 4:

$4^x = 4^3$

$x = 3$

Ответ: 3.

3) $2^{x+4} - 2^x = 120$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \cdot 2^4 - 2^x = 120$

$2^x(2^4 - 1) = 120$

$2^x(16 - 1) = 120$

$2^x \cdot 15 = 120$

Разделим обе части на 15:

$2^x = 8$

Представим 8 как степень 2:

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: 3.

4) $7^{x+1} + 4 \cdot 7^x = 77$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x \cdot 7^1 + 4 \cdot 7^x = 77$

$7^x(7 + 4) = 77$

$7^x \cdot 11 = 77$

Разделим обе части на 11:

$7^x = 7$

Представим 7 как $7^1$:

$7^x = 7^1$

$x = 1$

Ответ: 1.

5) $5^x + 7 \cdot 5^{x-2} = 160$

Используем свойство степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x + 7 \cdot 5^x \cdot 5^{-2} = 160$

$5^x(1 + 7 \cdot 5^{-2}) = 160$

$5^x(1 + \frac{7}{25}) = 160$

$5^x(\frac{25}{25} + \frac{7}{25}) = 160$

$5^x \cdot \frac{32}{25} = 160$

Найдем $5^x$:

$5^x = 160 \cdot \frac{25}{32}$

$5^x = 5 \cdot 25$

$5^x = 125$

Представим 125 как степень 5:

$5^x = 5^3$

$x = 3$

Ответ: 3.

6) $6^{x+1} - 4 \cdot 6^{x-1} = 192$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$. Вынесем общий множитель $6^x$ за скобки:

$6^x \cdot 6^1 - 4 \cdot 6^x \cdot 6^{-1} = 192$

$6^x(6 - 4 \cdot 6^{-1}) = 192$

$6^x(6 - \frac{4}{6}) = 192$

$6^x(6 - \frac{2}{3}) = 192$

$6^x(\frac{18}{3} - \frac{2}{3}) = 192$

$6^x \cdot \frac{16}{3} = 192$

Найдем $6^x$:

$6^x = 192 \cdot \frac{3}{16}$

$6^x = 12 \cdot 3$

$6^x = 36$

Представим 36 как степень 6:

$6^x = 6^2$

$x = 2$

Ответ: 2.

2.4. Решите уравнение:

1) $5^{x+1} + 5^x = 150$;

2) $2^x + 2^{x-3} = 18$;

3) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x-1} = 347$;

4) $4^x - 3 \cdot 4^{x-2} = 52$.

1) $5^{x+1} + 5^x = 150$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать первое слагаемое:

$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$5 \cdot 5^x + 5^x = 150$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(5 + 1) = 150$

$5^x \cdot 6 = 150$

Разделим обе части уравнения на 6:

$5^x = \frac{150}{6}$

$5^x = 25$

Представим 25 как степень числа 5:

$5^x = 5^2$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: $x=2$

2) $2^x + 2^{x-3} = 18$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, чтобы преобразовать второе слагаемое:

$2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{8} = 18$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + \frac{1}{8}) = 18$

$2^x(\frac{8}{8} + \frac{1}{8}) = 18$

$2^x \cdot \frac{9}{8} = 18$

Выразим $2^x$:

$2^x = 18 \cdot \frac{8}{9}$

$2^x = 2 \cdot 8$

$2^x = 16$

Представим 16 как степень числа 2:

$2^x = 2^4$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 4$

Ответ: $x=4$

3) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x-1} = 347$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^x$

$7^{x-1} = \frac{7^x}{7^1} = \frac{7^x}{7}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$49 \cdot 7^x + 4 \cdot \frac{7^x}{7} = 347$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(49 + \frac{4}{7}) = 347$

$7^x(\frac{49 \cdot 7}{7} + \frac{4}{7}) = 347$

$7^x(\frac{343 + 4}{7}) = 347$

$7^x \cdot \frac{347}{7} = 347$

Разделим обе части уравнения на 347:

$\frac{7^x}{7} = 1$

$7^x = 7$

Представим 7 как $7^1$:

$7^x = 7^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: $x=1$

4) $4^x - 3 \cdot 4^{x-2} = 52$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$4^{x-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4^x - 3 \cdot \frac{4^x}{16} = 52$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x(1 - \frac{3}{16}) = 52$

$4^x(\frac{16}{16} - \frac{3}{16}) = 52$

$4^x \cdot \frac{13}{16} = 52$

Выразим $4^x$:

$4^x = 52 \cdot \frac{16}{13}$

$4^x = 4 \cdot 16$

$4^x = 64$

Представим 64 как степень числа 4:

$4^x = 4^3$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 3$

Ответ: $x=3$

2.5. Решите уравнение:

1) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0;$

2) $9^x - 6 \cdot 3^x - 27 = 0;$

3) $25^x - 5^x - 20 = 0;$

4) $100 \cdot 0,3^{2x} + 91 \cdot 0,3^x - 9 = 0.$

1) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Данное уравнение является показательным, и его можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.

Выполним замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение примет вид:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корни легко подбираются:

$t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$, поэтому оба являются действительными решениями для $t$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

1. Для $t_1 = 2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x_1 = 1$

2. Для $t_2 = 4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

2) $9^x - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 6t - 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Единственный подходящий корень $t_1 = 9$.

Выполним обратную замену:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

3) $25^x - 5^x - 20 = 0$

Это уравнение также сводится к квадратному. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - t - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -20. Корни:

$t_1 = 5$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому мы его отбрасываем.

Остается корень $t_1 = 5$.

Выполним обратную замену:

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $100 \cdot 0.3^{2x} + 91 \cdot 0.3^x - 9 = 0$

Заметим, что $0.3^{2x} = (0.3^x)^2$. Сведем уравнение к квадратному с помощью замены.

Пусть $t = 0.3^x$. Так как $0.3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$100t^2 + 91t - 9 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 91^2 - 4 \cdot 100 \cdot (-9) = 8281 + 3600 = 11881$.

Поскольку $100^2 = 10000$ и $110^2 = 12100$, корень из $11881$ находится между 100 и 110. Последняя цифра 1, значит, корень должен оканчиваться на 1 или 9. Проверим 109: $109^2=11881$. Таким образом, $\sqrt{D} = 109$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-91 + 109}{2 \cdot 100} = \frac{18}{200} = \frac{9}{100} = 0.09$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-91 - 109}{2 \cdot 100} = \frac{-200}{200} = -1$.

Корень $t_2 = -1$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $t > 0$.

Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = 0.09$.

Выполним обратную замену:

$0.3^x = 0.09$

Представим $0.09$ как степень числа $0.3$: $0.09 = (0.3)^2$.

$0.3^x = (0.3)^2$

Отсюда $x = 2$.

Ответ: $2$.

2.6. Решите уравнение:

1) $6^{2x} - 3 \cdot 6^x - 18 = 0$;

2) $2 \cdot 4^x - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$.

1) $6^{2x} - 3 \cdot 6^x - 18 = 0$

Данное уравнение является показательным и сводится к квадратному. Заметим, что $6^{2x} = (6^x)^2$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ всегда положительна ($a>0, a \neq 1$), то для нашей замены должно выполняться условие $t > 0$.
Подставив новую переменную в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 3t - 18 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3+9}{2} = 6$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3-9}{2} = -3$
Теперь проверим полученные корни на соответствие условию $t > 0$.
Корень $t_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 > 0$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 > 0$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной $x$, используя подходящий корень $t = 6$:
$6^x = 6$
Представим правую часть как степень с основанием 6:
$6^x = 6^1$
Отсюда $x=1$.

Ответ: $1$.

2) $2 \cdot 4^x - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$

Преобразуем уравнение, приведя все степени к одному основанию. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$.
Уравнение примет вид:
$2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = 2^x$. Условие для новой переменной: $y > 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $y$:
$2y^2 - 9y + 4 = 0$
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9-7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня, $y_1 = 4$ и $y_2 = \frac{1}{2}$, удовлетворяют условию $y > 0$.
Выполним обратную замену для каждого из корней.
1. Для $y_1 = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$
2. Для $y_2 = \frac{1}{2}$:
$2^x = \frac{1}{2}$
$2^x = 2^{-1}$
$x = -1$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 2$.

2.7. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{9} \cdot \sqrt{3^{3x-1}} = 81^{\frac{3}{4}}$;

2) $4^x \cdot 3^{x+1} = 0,25 \cdot 12^{3x-1}$;

3) $4 \cdot 2^{\cos x} = \sqrt{8}$;

4) $0,25 \cdot 2^{x^2} = \sqrt[3]{0,25 \cdot 4^{2x}}$;

5) $5^{x-1} = 10^x \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1}$;

6) $\sqrt[3]{9^{2x+1}} = \frac{3}{5\sqrt{3}}$.

1) Исходное уравнение: $ \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3^{3x-1}} = 81^{\frac{3}{4}} $.
Представим все части уравнения в виде степеней с основанием 3.
$ \frac{1}{9} = 3^{-2} $
$ \sqrt{3^{3x-1}} = (3^{3x-1})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3x-1}{2}} $
$ 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 $
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ 3^{-2} \cdot 3^{\frac{3x-1}{2}} = 3^3 $
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$ 3^{-2 + \frac{3x-1}{2}} = 3^3 $
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$ -2 + \frac{3x-1}{2} = 3 $
$ \frac{3x-1}{2} = 5 $
$ 3x-1 = 10 $
$ 3x = 11 $
$ x = \frac{11}{3} $
Ответ: $ \frac{11}{3} $.

2) Исходное уравнение: $ 4^x \cdot 3^{x+1} = 0,25 \cdot 12^{3x-1} $.
Представим все числа через простые основания 2 и 3.
$ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} $
$ 0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2} $
$ 12^{3x-1} = (4 \cdot 3)^{3x-1} = ((2^2) \cdot 3)^{3x-1} = (2^2)^{3x-1} \cdot 3^{3x-1} = 2^{6x-2} \cdot 3^{3x-1} $
Подставим в уравнение:
$ 2^{2x} \cdot 3^{x+1} = 2^{-2} \cdot (2^{6x-2} \cdot 3^{3x-1}) $
$ 2^{2x} \cdot 3^{x+1} = 2^{6x-4} \cdot 3^{3x-1} $
Разделим обе части на $ 2^{2x} \cdot 3^{3x-1} $ (при условии, что они не равны нулю, что верно для любых x):
$ \frac{3^{x+1}}{3^{3x-1}} = \frac{2^{6x-4}}{2^{2x}} $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$ 3^{(x+1) - (3x-1)} = 2^{(6x-4) - 2x} $
$ 3^{-2x+2} = 2^{4x-4} $
$ 3^{2(1-x)} = 2^{4(x-1)} $
$ (3^2)^{1-x} = (2^4)^{x-1} $
$ 9^{1-x} = 16^{x-1} $
$ (9^{-1})^{x-1} = 16^{x-1} $
$ (\frac{1}{9})^{x-1} = 16^{x-1} $
Разделим обе части на $ 16^{x-1} $:
$ (\frac{1}{9 \cdot 16})^{x-1} = 1 $
$ (\frac{1}{144})^{x-1} = (\frac{1}{144})^0 $
Приравниваем показатели:
$ x-1=0 $
$ x=1 $
Ответ: 1.

3) Исходное уравнение: $ 4 \cdot 2^{\cos x} = \sqrt{8} $.
Представим все части уравнения в виде степеней с основанием 2.
$ 4 = 2^2 $
$ \sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{\frac{3}{2}} $
Подставим в уравнение:
$ 2^2 \cdot 2^{\cos x} = 2^{\frac{3}{2}} $
$ 2^{2+\cos x} = 2^{\frac{3}{2}} $
Приравниваем показатели:
$ 2+\cos x = \frac{3}{2} $
$ \cos x = \frac{3}{2} - 2 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ 0,25 \cdot 2^{x^2} = \sqrt[3]{0,25 \cdot 4^{2x}} $.
Представим все части уравнения в виде степеней с основанием 2.
$ 0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} $
$ 4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x} $
Подставим в уравнение:
$ 2^{-2} \cdot 2^{x^2} = \sqrt[3]{2^{-2} \cdot 2^{4x}} $
Упростим обе части:
$ 2^{x^2 - 2} = (2^{4x-2})^{\frac{1}{3}} $
$ 2^{x^2 - 2} = 2^{\frac{4x-2}{3}} $
Приравниваем показатели:
$ x^2 - 2 = \frac{4x-2}{3} $
Умножим обе части на 3:
$ 3(x^2 - 2) = 4x - 2 $
$ 3x^2 - 6 = 4x - 2 $
$ 3x^2 - 4x - 4 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $
Ответ: $ 2; -\frac{2}{3} $.

5) Исходное уравнение: $ 5^{x-1} = 10^x \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1} $.
Представим $ 10^x $ как $ (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x $:
$ 5^{x-1} = (2^x \cdot 5^x) \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в правой части:
$ 5^{x-1} = (2^x \cdot 2^{-x}) \cdot (5^x \cdot 5^{x+1}) $
$ 5^{x-1} = 2^{x-x} \cdot 5^{x+x+1} $
$ 5^{x-1} = 2^0 \cdot 5^{2x+1} $
$ 5^{x-1} = 1 \cdot 5^{2x+1} $
$ 5^{x-1} = 5^{2x+1} $
Приравниваем показатели:
$ x-1 = 2x+1 $
$ -1 - 1 = 2x - x $
$ x = -2 $
Ответ: -2.

6) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{9^{2x+1}} = \frac{3}{\sqrt[5]{3}} $.
Представим все части уравнения в виде степеней с основанием 3.
Левая часть: $ \sqrt[3]{9^{2x+1}} = \sqrt[3]{(3^2)^{2x+1}} = \sqrt[3]{3^{2(2x+1)}} = \sqrt[3]{3^{4x+2}} = (3^{4x+2})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4x+2}{3}} $
Правая часть: $ \frac{3}{\sqrt[5]{3}} = \frac{3^1}{3^{\frac{1}{5}}} = 3^{1 - \frac{1}{5}} = 3^{\frac{4}{5}} $
Получаем уравнение:
$ 3^{\frac{4x+2}{3}} = 3^{\frac{4}{5}} $
Приравниваем показатели:
$ \frac{4x+2}{3} = \frac{4}{5} $
Воспользуемся свойством пропорции:
$ 5(4x+2) = 3 \cdot 4 $
$ 20x + 10 = 12 $
$ 20x = 2 $
$ x = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $
Ответ: $ \frac{1}{10} $.

2.8. Решите уравнение:

1) $\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}} = 8^{3x}$;

2) $9 \cdot 3^{\sin x} = \sqrt{27}$;

3) $2^{x-1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{2x+1}$;

4) $\sqrt[5]{7^{x+1}} = \frac{49}{\sqrt{7}}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}} = 8^{3x}$.
Для решения приведем все части уравнения к общему основанию, которым является число 2.
Представим числа 32, 16 и 8 как степени двойки:
$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}}$
$16^{x^2} = (2^4)^{x^2} = 2^{4x^2}$
$8^{3x} = (2^3)^{3x} = 2^{9x}$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{2^{5/2}}{2^{4x^2}} = 2^{9x}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим левую часть:
$2^{\frac{5}{2} - 4x^2} = 2^{9x}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\frac{5}{2} - 4x^2 = 9x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 9x - \frac{5}{2} = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
$8x^2 + 18x - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484 = 22^2$
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$x_2 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 8} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = -\frac{5}{2}$.

2) Исходное уравнение: $9 \cdot 3^{\sin x} = \sqrt{27}$.
Приведем все части уравнения к основанию 3.
$9 = 3^2$
$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}}$
Подставим в уравнение:
$3^2 \cdot 3^{\sin x} = 3^{\frac{3}{2}}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть:
$3^{2 + \sin x} = 3^{\frac{3}{2}}$
Приравниваем показатели степеней:
$2 + \sin x = \frac{3}{2}$
Выразим $\sin x$:
$\sin x = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3-4}{2} = -\frac{1}{2}$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $2^{x-1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1}$.
Упростим правую часть уравнения. Представим $12$ как $4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$:
$12^{2x} = (2^2 \cdot 3)^{2x} = (2^2)^{2x} \cdot 3^{2x} = 2^{4x} \cdot 3^{2x}$
Подставим это в правую часть уравнения:
$2^{4x} \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$(2^{4x} \cdot 2^{x+1}) \cdot (3^{2x} \cdot 3^{-2x})$
Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{4x+x+1} \cdot 3^{2x-2x} = 2^{5x+1} \cdot 3^0 = 2^{5x+1} \cdot 1 = 2^{5x+1}$
Теперь уравнение имеет вид:
$2^{x-1} = 2^{5x+1}$
Приравниваем показатели степеней:
$x-1 = 5x+1$
Решим линейное уравнение:
$-1-1 = 5x-x$
$-2 = 4x$
$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt[5]{7^{x+1}} = \frac{49}{\sqrt{7}}$.
Приведем все части уравнения к основанию 7.
Преобразуем левую часть, используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$\sqrt[5]{7^{x+1}} = 7^{\frac{x+1}{5}}$
Преобразуем правую часть:
$49 = 7^2$
$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$
$\frac{49}{\sqrt{7}} = \frac{7^2}{7^{1/2}} = 7^{2 - \frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$
Теперь уравнение выглядит так:
$7^{\frac{x+1}{5}} = 7^{\frac{3}{2}}$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{x+1}{5} = \frac{3}{2}$
Решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 10 (общий знаменатель):
$2(x+1) = 3 \cdot 5$
$2x+2 = 15$
$2x = 13$
$x = \frac{13}{2} = 6.5$
Ответ: $x = 6.5$.

2.9. Решите уравнение:

$1) 2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56;$

$2) 6 \cdot 5^x - 5^{x+1} - 3 \cdot 5^{x-1} = 10;$

$3) 2 \cdot 7^x + 7^{x+2} - 3 \cdot 7^{x-1} = 354;$

$4) 4^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228;$

$5) 4 \cdot 9^{1.5x-1} - 27^{x-1} = 33;$

$6) 0.5^{5-2x} + 3 \cdot 0.25^{3-x} = 5;$

$7) 2^{2x+1} + 4^x - \left(\frac{1}{16}\right)^{1-0.5x} = 47;$

$8) 4 \cdot 3^x - 5 \cdot 3^{x-1} - 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 9^{x^2-1}.$

1) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Вынесем за скобки общий множитель $2^{x-2}$ (степень с наименьшим показателем):

$2^{x-2} \cdot 2^2 + 2^{x-2} \cdot 2^1 + 2^{x-2} = 56$

$2^{x-2}(2^2 + 2^1 + 1) = 56$

$2^{x-2}(4 + 2 + 1) = 56$

$2^{x-2} \cdot 7 = 56$

$2^{x-2} = \frac{56}{7}$

$2^{x-2} = 8$

Представим 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.

$2^{x-2} = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 2 = 3$

$x = 5$

Ответ: $x=5$.

2) $6 \cdot 5^x - 5^{x+1} - 3 \cdot 5^{x-1} = 10$

Вынесем за скобки общий множитель $5^{x-1}$:

$6 \cdot 5^{x-1} \cdot 5^1 - 5^{x-1} \cdot 5^2 - 3 \cdot 5^{x-1} = 10$

$5^{x-1}(6 \cdot 5 - 5^2 - 3) = 10$

$5^{x-1}(30 - 25 - 3) = 10$

$5^{x-1}(2) = 10$

$5^{x-1} = \frac{10}{2}$

$5^{x-1} = 5$

$5^{x-1} = 5^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 1 = 1$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

3) $2 \cdot 7^x + 7^{x+2} - 3 \cdot 7^{x-1} = 354$

Вынесем за скобки общий множитель $7^{x-1}$:

$2 \cdot 7^{x-1} \cdot 7^1 + 7^{x-1} \cdot 7^3 - 3 \cdot 7^{x-1} = 354$

$7^{x-1}(2 \cdot 7 + 7^3 - 3) = 354$

$7^{x-1}(14 + 343 - 3) = 354$

$7^{x-1}(354) = 354$

$7^{x-1} = 1$

Представим 1 как $7^0$:

$7^{x-1} = 7^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

4) $4^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228$

Приведем все степени к основанию 2, зная, что $4 = 2^2$:

$(2^2)^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228$

$2^{2x-4} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{2x-4}$:

$2^{2x-4} - 3 \cdot 2^{2x-4} \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^{2x-4} \cdot 2^4 = 228$

$2^{2x-4}(1 - 3 \cdot 8 + 5 \cdot 16) = 228$

$2^{2x-4}(1 - 24 + 80) = 228$

$2^{2x-4} \cdot 57 = 228$

$2^{2x-4} = \frac{228}{57}$

$2^{2x-4} = 4$

$2^{2x-4} = 2^2$

Приравниваем показатели степеней:

$2x - 4 = 2$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

5) $4 \cdot 9^{1.5x-1} - 27^{x-1} = 33$

Приведем все степени к основанию 3, зная, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$:

$4 \cdot (3^2)^{1.5x-1} - (3^3)^{x-1} = 33$

$4 \cdot 3^{2(1.5x-1)} - 3^{3(x-1)} = 33$

$4 \cdot 3^{3x-2} - 3^{3x-3} = 33$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $3^{3x-3}$:

$4 \cdot 3^{3x-3} \cdot 3^1 - 3^{3x-3} = 33$

$3^{3x-3}(4 \cdot 3 - 1) = 33$

$3^{3x-3}(11) = 33$

$3^{3x-3} = 3$

$3^{3x-3} = 3^1$

Приравниваем показатели степеней:

$3x - 3 = 1$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

6) $0.5^{5-2x} + 3 \cdot 0.25^{3-x} = 5$

Приведем все степени к основанию 0.5, зная, что $0.25 = 0.5^2$:

$0.5^{5-2x} + 3 \cdot (0.5^2)^{3-x} = 5$

$0.5^{5-2x} + 3 \cdot 0.5^{6-2x} = 5$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $0.5^{6-2x}$ (поскольку $6-2x > 5-2x$, то показатель $6-2x$ меньше):

$0.5^{5-2x} \cdot 1 + 3 \cdot 0.5^{5-2x} \cdot 0.5^1 = 5$

$0.5^{5-2x}(1 + 3 \cdot 0.5) = 5$

$0.5^{5-2x}(1 + 1.5) = 5$

$0.5^{5-2x} \cdot 2.5 = 5$

$0.5^{5-2x} = \frac{5}{2.5}$

$0.5^{5-2x} = 2$

Так как $0.5 = 2^{-1}$:

$(2^{-1})^{5-2x} = 2^1$

$2^{-5+2x} = 2^1$

Приравниваем показатели степеней:

$-5 + 2x = 1$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

7) $2^{2x+1} + 4^x - (\frac{1}{16})^{1-0.5x} = 47$

Приведем все степени к основанию 2: $4=2^2$, $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.

$2^{2x+1} + (2^2)^x - (2^{-4})^{1-0.5x} = 47$

$2^{2x+1} + 2^{2x} - 2^{-4+2x} = 47$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{2x-4}$:

$2^{2x-4} \cdot 2^5 + 2^{2x-4} \cdot 2^4 - 2^{2x-4} = 47$

$2^{2x-4}(32 + 16 - 1) = 47$

$2^{2x-4} \cdot 47 = 47$

$2^{2x-4} = 1$

$2^{2x-4} = 2^0$

Приравниваем показатели степеней:

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

8) $4 \cdot 3^x - 5 \cdot 3^{x-1} - 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 9^{x^2-1}$

Упростим левую часть, вынеся за скобки $3^{x-2}$:

$3^{x-2}(4 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3^1 - 6) = 3^{x-2}(36 - 15 - 6) = 15 \cdot 3^{x-2}$

Упростим правую часть, приведя степень к основанию 3:

$15 \cdot 9^{x^2-1} = 15 \cdot (3^2)^{x^2-1} = 15 \cdot 3^{2(x^2-1)} = 15 \cdot 3^{2x^2-2}$

Уравнение принимает вид:

$15 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 3^{2x^2-2}$

Разделим обе части на 15:

$3^{x-2} = 3^{2x^2-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 2 = 2x^2 - 2$

$2x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$2x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}$

Ответ: $x=0; x=\frac{1}{2}$.

2.10. Решите уравнение:

1) $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31$;

2) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17$;

3) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 9$;

4) $2 \cdot 3^{2x+1} + 3^{2x-1} - 5 \cdot 3^{2x} = 36$;

5) $6^{x-2} - \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{\frac{x-1}{2}} = 246$;

6) $5 \cdot 2^{x-1} - 6 \cdot 2^{x-2} - 7 \cdot 2^{x-3} = 8^{x^2-1}$.

1) $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель $5^x$ за скобки.

$5^x \cdot 5^1 + 5^x \cdot 1 + 5^x \cdot 5^{-1} = 31$

$5^x (5 + 1 + \frac{1}{5}) = 31$

Вычислим значение в скобках:

$5 + 1 + \frac{1}{5} = 6 + \frac{1}{5} = \frac{30}{5} + \frac{1}{5} = \frac{31}{5}$

Подставим обратно в уравнение:

$5^x \cdot \frac{31}{5} = 31$

Разделим обе части на 31 и умножим на 5:

$5^x = \frac{31 \cdot 5}{31}$

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1$

Ответ: $x=1$

2) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки, используя свойства степеней.

$3^x \cdot 3^1 - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1} - 4 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} = 17$

$3^x (3 - 2 \cdot \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{1}{9}) = 17$

Вычислим значение в скобках:

$3 - \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9} = \frac{27 - 6 - 4}{9} = \frac{17}{9}$

Подставим обратно в уравнение:

$3^x \cdot \frac{17}{9} = 17$

Разделим обе части на 17 и умножим на 9:

$3^x = \frac{17 \cdot 9}{17}$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

3) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 9$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки.

$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} - 2^x \cdot 2^{-2} = 9$

$2^x (4 - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 9$

Вычислим значение в скобках:

$4 - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}$

Подставим обратно в уравнение:

$2^x \cdot \frac{9}{4} = 9$

Разделим обе части на 9 и умножим на 4:

$2^x = \frac{9 \cdot 4}{9}$

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

4) $2 \cdot 3^{2x+1} + 3^{2x-1} - 5 \cdot 3^{2x} = 36$

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки.

$2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^1 + 3^{2x} \cdot 3^{-1} - 5 \cdot 3^{2x} = 36$

$3^{2x} (2 \cdot 3 + \frac{1}{3} - 5) = 36$

Вычислим значение в скобках:

$6 + \frac{1}{3} - 5 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3}$

Подставим обратно в уравнение:

$3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 36$

Умножим обе части на $\frac{3}{4}$:

$3^{2x} = 36 \cdot \frac{3}{4}$

$3^{2x} = 9 \cdot 3$

$3^{2x} = 27$

$3^{2x} = 3^3$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

Ответ: $x=\frac{3}{2}$

5) $6^{x-2} - \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{\frac{x-1}{2}} = 246$

Приведем все слагаемые к основанию 6.

$\left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} = (6^{-1})^{3-x} = 6^{-1 \cdot (3-x)} = 6^{x-3}$

$36^{\frac{x-1}{2}} = (6^2)^{\frac{x-1}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{x-1}{2}} = 6^{x-1}$

Перепишем уравнение:

$6^{x-2} - 6^{x-3} + 6^{x-1} = 246$

Вынесем за скобки общий множитель $6^{x-3}$:

$6^{(x-3)+1} - 6^{x-3} + 6^{(x-3)+2} = 246$

$6^{x-3} \cdot 6^1 - 6^{x-3} \cdot 1 + 6^{x-3} \cdot 6^2 = 246$

$6^{x-3} (6 - 1 + 36) = 246$

$6^{x-3} \cdot 41 = 246$

Разделим обе части на 41:

$6^{x-3} = \frac{246}{41}$

$6^{x-3} = 6$

$6^{x-3} = 6^1$

$x - 3 = 1$

$x = 4$

Ответ: $x=4$

6) $5 \cdot 2^{x-1} - 6 \cdot 2^{x-2} - 7 \cdot 2^{x-3} = 8^{x^2-1}$

Упростим левую и правую части уравнения.

Левая часть: вынесем за скобки $2^{x-3}$.

$5 \cdot 2^{(x-3)+2} - 6 \cdot 2^{(x-3)+1} - 7 \cdot 2^{x-3} = 5 \cdot 2^2 \cdot 2^{x-3} - 6 \cdot 2^1 \cdot 2^{x-3} - 7 \cdot 2^{x-3}$

$= 2^{x-3} (5 \cdot 4 - 6 \cdot 2 - 7)$

$= 2^{x-3} (20 - 12 - 7)$

$= 2^{x-3} \cdot 1 = 2^{x-3}$

Правая часть: приведем к основанию 2.

$8^{x^2-1} = (2^3)^{x^2-1} = 2^{3(x^2-1)} = 2^{3x^2-3}$

Теперь приравняем упрощенные части:

$2^{x-3} = 2^{3x^2-3}$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 3x^2 - 3$

$3x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x-1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{3}$

Ответ: $x_1=0, x_2=\frac{1}{3}$