Страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Какую теорему и какое следствие из неё используют при решении показательных уравнений?

При решении показательных уравнений ключевую роль играют свойства показательной функции $y=a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$.

Теорема

Используется теорема о строгой монотонности показательной функции.

Формулировка теоремы: Показательная функция $y = a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$) является строго монотонной на всей области определения (множестве действительных чисел $R$).

Это означает, что:

• если основание $a > 1$, функция строго возрастает;
• если $0 < a < 1$, функция строго убывает.

Главное свойство, вытекающее из строгой монотонности, заключается в том, что функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Иными словами, если значения функции равны, то равны и её аргументы.

Ответ: При решении показательных уравнений используется теорема о строгой монотонности показательной функции $y=a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$).

Следствие из неё

На основе теоремы о монотонности формулируется следствие, которое является практическим инструментом для решения уравнений.

Формулировка следствия: Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, равносильно (имеет те же корни) уравнению $f(x) = g(x)$.

Объяснение: Так как показательная функция строго монотонна, равенство $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ возможно тогда и только тогда, когда равны показатели степеней, то есть $f(x) = g(x)$. Этот переход позволяет отбросить одинаковые основания и свести решение показательного уравнения к решению более простого уравнения (например, алгебраического), связывающего показатели.

Пример: Решим уравнение $5^{2x-4} = 25$.
1. Приведем обе части уравнения к одному основанию: $5^{2x-4} = 5^2$.
2. Используя следствие, приравняем показатели: $2x-4 = 2$.
3. Решим полученное линейное уравнение: $2x = 6$, откуда $x = 3$.

Ответ: Следствие заключается в том, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (где $a > 0, a \neq 1$) равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

2.1. Решите уравнение:

$1) 4^x = 64;$

$2) 3^x = \frac{1}{81};$

$3) 0,6^{2x-3} = 1;$

$4) 10^{-x} = 0,001;$

$5) 2^{5-x} = 2^{3x-7};$

$6) 8^x = 16;$

$7) 0,16^x = \frac{5}{2};$

$8) \sqrt{5^x} = 25;$

$9) 0,25^{x^2-4} = 2^{x^2+1};$

$10) \left(\frac{4}{9}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{2}{3};$

$11) 2^x \cdot 5^x = 0,1 \cdot (10^x-1)^5;$

$12) \left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{7x-3};$

$13) 36^x = \left(\frac{1}{216}\right)^{2-x};$

$14) 5^{x^2-2x} = 6^{x^2-2x};$

$15) 3^{x-1} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}.$

1) $4^x = 64$
Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием 4. Так как $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$, уравнение принимает вид:
$4^x = 4^3$
Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

2) $3^x = \frac{1}{81}$
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$. Тогда $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
Уравнение принимает вид:
$3^x = 3^{-4}$
Приравниваем показатели степеней:
$x = -4$
Ответ: $x = -4$.

3) $0.6^{2x-3} = 1$
Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Представим 1 как $0.6^0$.
$0.6^{2x-3} = 0.6^0$
Приравниваем показатели степеней:
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $x = 1.5$.

4) $10^{-x} = 0.001$
Представим 0.001 в виде степени числа 10.
$0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.
Уравнение принимает вид:
$10^{-x} = 10^{-3}$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = -3$
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

5) $2^{5-x} = 2^{3x-7}$
Основания степеней в обеих частях уравнения равны (2), поэтому мы можем приравнять их показатели:
$5 - x = 3x - 7$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа - в другую:
$5 + 7 = 3x + x$
$12 = 4x$
$x = \frac{12}{4}$
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

6) $8^x = 16$
Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к 2.
$8 = 2^3$, поэтому $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.
$16 = 2^4$.
Уравнение принимает вид:
$2^{3x} = 2^4$
Приравниваем показатели степеней:
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$
Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

7) $0.16^x = \frac{5}{2}$
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0.16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$.
Уравнение становится: $(\frac{4}{25})^x = \frac{5}{2}$.
Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$ и $\frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$.
Подставляем в уравнение:
$((\frac{2}{5})^2)^x = (\frac{2}{5})^{-1}$
$(\frac{2}{5})^{2x} = (\frac{2}{5})^{-1}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -0.5$.

8) $\sqrt{5^x} = 25$
Представим обе части уравнения как степени с основанием 5.
Левая часть: $\sqrt{5^x} = (5^x)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{x}{2}}$.
Правая часть: $25 = 5^2$.
Уравнение принимает вид:
$5^{\frac{x}{2}} = 5^2$
Приравниваем показатели:
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Ответ: $x = 4$.

9) $0.25^{x^2-4} = 2^{x^2+1}$
Приведем обе части к основанию 2.
$0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Подставляем в левую часть:
$(2^{-2})^{x^2-4} = 2^{-2(x^2-4)} = 2^{-2x^2+8}$.
Уравнение принимает вид:
$2^{-2x^2+8} = 2^{x^2+1}$
Приравниваем показатели:
$-2x^2 + 8 = x^2 + 1$
$8 - 1 = x^2 + 2x^2$
$7 = 3x^2$
$x^2 = \frac{7}{3}$
$x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}$.

10) $(\frac{4}{9})^{x-1} \cdot (\frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3}$
Используем свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для левой части:
$(\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3}$
Упростим произведение в скобках:
$\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$.
Уравнение принимает вид:
$(\frac{3}{2})^{x-1} = \frac{2}{3}$
Приведем правую часть к основанию $\frac{3}{2}$: $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.
$(\frac{3}{2})^{x-1} = (\frac{3}{2})^{-1}$
Приравниваем показатели:
$x - 1 = -1$
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

11) $2^x \cdot 5^x = 0.1 \cdot (10^{x-1})^5$
Упростим обе части уравнения.
Левая часть: $2^x \cdot 5^x = (2 \cdot 5)^x = 10^x$.
Правая часть: $0.1 = 10^{-1}$ и $(10^{x-1})^5 = 10^{5(x-1)} = 10^{5x-5}$.
Правая часть становится: $10^{-1} \cdot 10^{5x-5} = 10^{-1 + 5x - 5} = 10^{5x-6}$.
Уравнение принимает вид:
$10^x = 10^{5x-6}$
Приравниваем показатели:
$x = 5x - 6$
$6 = 4x$
$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $x = 1.5$.

12) $(\frac{4}{7})^{3x-7} = (\frac{7}{4})^{7x-3}$
Приведем правую часть к основанию $\frac{4}{7}$. Так как $\frac{7}{4} = (\frac{4}{7})^{-1}$, то
$(\frac{7}{4})^{7x-3} = ((\frac{4}{7})^{-1})^{7x-3} = (\frac{4}{7})^{-(7x-3)} = (\frac{4}{7})^{-7x+3}$.
Уравнение принимает вид:
$(\frac{4}{7})^{3x-7} = (\frac{4}{7})^{-7x+3}$
Приравниваем показатели:
$3x - 7 = -7x + 3$
$3x + 7x = 3 + 7$
$10x = 10$
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

13) $36^x = (\frac{1}{216})^{2-x}$
Приведем обе части к основанию 6.
$36 = 6^2$, поэтому $36^x = (6^2)^x = 6^{2x}$.
$216 = 6^3$, поэтому $\frac{1}{216} = \frac{1}{6^3} = 6^{-3}$.
Правая часть: $(6^{-3})^{2-x} = 6^{-3(2-x)} = 6^{-6+3x}$.
Уравнение принимает вид:
$6^{2x} = 6^{3x-6}$
Приравниваем показатели:
$2x = 3x - 6$
$6 = 3x - 2x$
$x = 6$
Ответ: $x = 6$.

14) $5^{x^2-2x} = 6^{x^2-2x}$
Уравнение вида $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, где $a, b > 0$ и $a \neq b$, имеет решение только в том случае, если показатель степени равен нулю, так как $a^0 = 1$ и $b^0 = 1$.
Следовательно, приравниваем показатель степени к нулю:
$x^2 - 2x = 0$
Выносим $x$ за скобки:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

15) $3^{x-1} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}$
Упростим правую часть уравнения.
Представим $6^x$ как $(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$.
Правая часть: $(2^x \cdot 3^x) \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$(2^x \cdot 2^{-x}) \cdot (3^x \cdot 3^{x+1})$
Применяем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{x-x} \cdot 3^{x+(x+1)} = 2^0 \cdot 3^{2x+1} = 1 \cdot 3^{2x+1} = 3^{2x+1}$.
Уравнение принимает вид:
$3^{x-1} = 3^{2x+1}$
Приравниваем показатели степеней:
$x - 1 = 2x + 1$
$-1 - 1 = 2x - x$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.

2.2. Решите уравнение:

1) $0,4^{x^2-x-6} = 1;$

2) $(\frac{3}{5})^x = \frac{5}{3};$

3) $0,7^x = 2\frac{2}{49};$

4) $9^{-x} = 27;$

5) $\sqrt{2^x} = 8^{-\frac{2}{3}};$

6) $(\frac{2}{9})^{2x+3} = 4,5^{x-2};$

7) $100^x = 0,01\sqrt{10};$

8) $(\frac{2}{5})^x \cdot (\frac{25}{8})^x = \frac{125}{64};$

9) $2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = \frac{1}{36} \cdot 6^{2x+5};$

10) $32^{5x-\frac{3}{2}} = 4^{6-\frac{3}{2}x};$

11) $3^{x^2-9} = 7^{x^2-9};$

12) $16^{5-3x} = 0,125^{5x-6}.$

1) Исходное уравнение: $0,4^{x^2 - x - 6} = 1$.
Поскольку любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1, мы можем приравнять показатель степени к нулю. Основание $0,4 \neq 1$, поэтому это единственный способ получить 1 в правой части.
$x^2 - x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$
Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 3$.

2) Исходное уравнение: $(\frac{3}{5})^x = \frac{5}{3}$.
Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что правая часть является обратной дробью к основанию в левой части.
$\frac{5}{3} = (\frac{3}{5})^{-1}$
Подставим это в уравнение:
$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$x = -1$
Ответ: $-1$.

3) Исходное уравнение: $0,7^x = 2\frac{2}{49}$.
Преобразуем обе части уравнения в обыкновенные дроби.
$0,7 = \frac{7}{10}$
$2\frac{2}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 2}{49} = \frac{98 + 2}{49} = \frac{100}{49}$
Уравнение принимает вид: $(\frac{7}{10})^x = \frac{100}{49}$.
Теперь представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{7}{10}$.
$\frac{100}{49} = (\frac{10}{7})^2 = ((\frac{7}{10})^{-1})^2 = (\frac{7}{10})^{-2}$
Получаем уравнение: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{7}{10})^{-2}$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = -2$
Ответ: $-2$.

4) Исходное уравнение: $9^{-x} = 27$.
Приведем обе части уравнения к общему основанию 3.
$9 = 3^2$, $27 = 3^3$
Подставляем в уравнение:
$(3^2)^{-x} = 3^3$
$3^{-2x} = 3^3$
Приравниваем показатели степеней:
$-2x = 3$
$x = -\frac{3}{2}$ или $x = -1,5$
Ответ: $-1,5$.

5) Исходное уравнение: $\sqrt{2^x} = 8^{\frac{2}{3}}$.
Приведем обе части уравнения к общему основанию 2.
Левая часть: $\sqrt{2^x} = (2^x)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{x}{2}}$
Правая часть: $8 = 2^3$, поэтому $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2$
Уравнение принимает вид: $2^{\frac{x}{2}} = 2^2$
Приравниваем показатели:
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Ответ: $4$.

6) Исходное уравнение: $(\frac{2}{9})^{2x+3} = 4,5^{x-2}$.
Приведем обе части к общему основанию. Преобразуем 4,5 в обыкновенную дробь.
$4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$
Заметим, что $\frac{9}{2}$ является обратной дробью к $\frac{2}{9}$, то есть $\frac{9}{2} = (\frac{2}{9})^{-1}$.
Подставим это в уравнение:
$(\frac{2}{9})^{2x+3} = ((\frac{2}{9})^{-1})^{x-2}$
$(\frac{2}{9})^{2x+3} = (\frac{2}{9})^{-(x-2)}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x+3 = -(x-2)$
$2x+3 = -x+2$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

7) Исходное уравнение: $100^x = 0,01\sqrt{10}$.
Приведем обе части к общему основанию 10.
Левая часть: $100^x = (10^2)^x = 10^{2x}$
Правая часть: $0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$ и $\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$.
$0,01\sqrt{10} = 10^{-2} \cdot 10^{\frac{1}{2}} = 10^{-2 + \frac{1}{2}} = 10^{-\frac{4}{2} + \frac{1}{2}} = 10^{-\frac{3}{2}}$
Уравнение принимает вид: $10^{2x} = 10^{-\frac{3}{2}}$
Приравниваем показатели:
$2x = -\frac{3}{2}$
$x = -\frac{3}{4}$ или $x = -0,75$
Ответ: $-0,75$.

8) Исходное уравнение: $(\frac{2}{5})^x \cdot (\frac{25}{8})^x = \frac{125}{64}$.
В левой части используем свойство $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$:
$(\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8})^x = \frac{125}{64}$
Упростим основание в левой части:
$\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8} = \frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 4} = \frac{5}{4}$
Уравнение принимает вид: $(\frac{5}{4})^x = \frac{125}{64}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{4}$.
$125 = 5^3$ и $64 = 4^3$.
$\frac{125}{64} = \frac{5^3}{4^3} = (\frac{5}{4})^3$
Уравнение: $(\frac{5}{4})^x = (\frac{5}{4})^3$.
Приравниваем показатели:
$x=3$
Ответ: $3$.

9) Исходное уравнение: $2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = \frac{1}{36} \cdot 6^{2x+5}$.
Объединим степени в левой части, используя свойство $a^c \cdot b^c = (ab)^c$ :
$2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = (2 \cdot 3)^{x-1} = 6^{x-1}$
Представим $\frac{1}{36}$ как степень с основанием 6: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.
Уравнение принимает вид: $6^{x-1} = 6^{-2} \cdot 6^{2x+5}$.
В правой части сложим показатели степеней: $6^{x-1} = 6^{-2+2x+5} = 6^{2x+3}$.
Приравниваем показатели:
$x-1 = 2x+3$
$-1-3 = 2x-x$
$x = -4$
Ответ: $-4$.

10) Исходное уравнение: $32^{\frac{3}{5}x - 2} = 4^{6-\frac{3}{2}x}$.
Приведем обе части к общему основанию 2.
$32 = 2^5$ и $4 = 2^2$.
Подставим в уравнение:
$(2^5)^{\frac{3}{5}x - 2} = (2^2)^{6-\frac{3}{2}x}$
Раскроем скобки в показателях степеней:
$2^{5 \cdot (\frac{3}{5}x - 2)} = 2^{2 \cdot (6-\frac{3}{2}x)}$
$2^{3x - 10} = 2^{12 - 3x}$
Приравниваем показатели:
$3x - 10 = 12 - 3x$
$6x = 22$
$x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$
Ответ: $\frac{11}{3}$.

11) Исходное уравнение: $3^{x^2 - 9} = 7^{x^2 - 9}$.
Данное уравнение имеет вид $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, где основания $a=3$ и $b=7$ различны ($a, b > 0, a \neq b$). Такое равенство возможно только в том случае, когда показатель степени равен нулю, так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1.
$x^2 - 9 = 0$
Разложим на множители как разность квадратов:
$(x-3)(x+3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Ответ: $-3; 3$.

12) Исходное уравнение: $16^{5-3x} = 0,125^{5x-6}$.
Приведем обе части к общему основанию 2.
$16 = 2^4$
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
Подставляем в уравнение:
$(2^4)^{5-3x} = (2^{-3})^{5x-6}$
Раскроем скобки в показателях степеней:
$2^{4(5-3x)} = 2^{-3(5x-6)}$
$2^{20-12x} = 2^{-15x+18}$
Приравниваем показатели:
$20 - 12x = -15x + 18$
$15x - 12x = 18 - 20$
$3x = -2$
$x = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$.