Страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.21. Какие из следующих неравенств верны:

1) $0,2^4 > 0,2^5;$

2) $0,2^4 > 0,2^3;$

3) $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{6}};$

4) $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{2}{3}}?$

1) $0.2^4 > 0.2^5$
Для решения этого неравенства рассмотрим свойства показательной функции $y = a^x$. В данном случае основание $a = 0.2$. Так как $0 < a < 1$, функция $y = 0.2^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Сравним показатели степеней: $4$ и $5$. Поскольку $4 < 5$, для убывающей функции должно выполняться обратное неравенство для значений функции: $0.2^4 > 0.2^5$. Таким образом, данное неравенство верно.
Ответ: неравенство верно.

2) $0.2^4 > 0.2^3$
Здесь основание также $a = 0.2$, и функция $y = 0.2^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $4$ и $3$. Поскольку $4 > 3$, для убывающей функции должно выполняться неравенство $0.2^4 < 0.2^3$. В условии же дано $0.2^4 > 0.2^3$, что противоречит свойству убывающей показательной функции. Следовательно, данное неравенство неверно.
Ответ: неравенство неверно.

3) $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{6}}$
В этом случае основание $a = 4$. Так как $a > 1$, функция $y = 4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $\frac{2}{6} > \frac{1}{6}$, то и $\frac{1}{3} > \frac{1}{6}$. Поскольку функция возрастающая, то из $\frac{1}{3} > \frac{1}{6}$ следует, что $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{6}}$. Таким образом, данное неравенство верно.
Ответ: неравенство верно.

4) $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{2}{3}}$
Здесь основание также $a = 4$, и функция $y = 4^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Очевидно, что $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$. Поскольку функция возрастающая, то из $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$ должно следовать, что $4^{\frac{1}{3}} < 4^{\frac{2}{3}}$. В условии же дано $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{2}{3}}$, что противоречит свойству возрастающей показательной функции. Следовательно, данное неравенство неверно.
Ответ: неравенство неверно.

Итак, верными являются неравенства 1 и 3.

2.22. Решите неравенство:

1) $2^{2x} > -1$;

2) $3^x < -5$;

3) $5^{\frac{1}{x}} > -3$.

1) Для неравенства $2^{9x} > -1$ рассмотрим его левую часть. Выражение $2^{9x}$ является показательной функцией с основанием $a=2$. Поскольку основание показательной функции больше нуля ($a > 0$), ее значения всегда положительны для любого действительного показателя степени. Таким образом, $2^{9x} > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$. Неравенство $2^{9x} > -1$ утверждает, что положительное число больше отрицательного, что является верным утверждением для любого значения $x$. Следовательно, решением неравенства является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) Для неравенства $3^x < -5$ рассмотрим его левую часть. Выражение $3^x$ — это показательная функция, область значений которой — все положительные числа, то есть $3^x > 0$ для любого действительного $x$. Неравенство требует, чтобы положительное число ($3^x$) было меньше отрицательного числа ($-5$), что невозможно. Таким образом, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Для неравенства $5^{\frac{1}{x}} > -3$ левая часть, $5^{\frac{1}{x}}$, является показательной функцией с положительным основанием $a=5$. Следовательно, ее значение всегда положительно, $5^{\frac{1}{x}} > 0$, для всех $x$ из области определения. Неравенство $5^{\frac{1}{x}} > -3$ верно всегда, когда его левая часть определена, так как любое положительное число больше любого отрицательного. Область определения выражения $5^{\frac{1}{x}}$ находится из условия, что показатель степени $\frac{1}{x}$ должен существовать. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, решением неравенства является область определения функции в левой части.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.