Номер 3.3, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.3, страница 23.
№3.3 (с. 23)
Учебник. №3.3 (с. 23)
скриншот условия

3.3. Решите неравенство:
1) $6^{7x-1} > 6$;
2) $10^x < 0,001$;
3) $(\frac{2}{3})^x > (\frac{3}{2})^4$;
4) $3^{2x^2-6} > \frac{1}{81}$;
5) $49^{x+1} < (\frac{1}{7})^x$;
6) $0,2^{2x-9} < 1$.
Решение. №3.3 (с. 23)


Решение 2. №3.3 (с. 23)
1) $6^{7x-1} > 6$
Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 6.
Представим правую часть неравенства как степень с основанием 6:
$6 = 6^1$
Получаем неравенство:
$6^{7x-1} > 6^1$
Так как основание степени $6 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$7x - 1 > 1$
Теперь решим полученное линейное неравенство:
$7x > 1 + 1$
$7x > 2$
$x > \frac{2}{7}$
Ответ: $x \in (\frac{2}{7}; +\infty)$
2) $10^x < 0,001$
Приведем обе части неравенства к основанию 10.
Представим 0,001 в виде степени с основанием 10:
$0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$
Неравенство принимает вид:
$10^x < 10^{-3}$
Основание степени $10 > 1$, поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:
$x < -3$
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$
3) $(\frac{2}{3})^x > (\frac{3}{2})^4$
Приведем обе части к одному основанию. Удобно выбрать основание $\frac{2}{3}$.
Используем свойство степеней $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$ для правой части:
$(\frac{3}{2})^4 = ((\frac{2}{3})^{-1})^4 = (\frac{2}{3})^{-4}$
Получаем неравенство:
$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^{-4}$
Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -4$
Ответ: $x \in (-\infty; -4)$
4) $3^{2x^2 - 6} > \frac{1}{81}$
Приведем обе части неравенства к основанию 3.
Представим правую часть в виде степени с основанием 3:
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$
Неравенство принимает вид:
$3^{2x^2 - 6} > 3^{-4}$
Основание степени $3 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$2x^2 - 6 > -4$
Решим полученное квадратное неравенство:
$2x^2 > -4 + 6$
$2x^2 > 2$
$x^2 > 1$
Решением этого неравенства являются все $x$, модуль которых больше 1. Это можно записать как совокупность двух неравенств: $x < -1$ или $x > 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
5) $49^{x+1} < (\frac{1}{7})^x$
Приведем обе части неравенства к основанию 7.
Преобразуем левую часть:
$49^{x+1} = (7^2)^{x+1} = 7^{2(x+1)} = 7^{2x+2}$
Преобразуем правую часть:
$(\frac{1}{7})^x = (7^{-1})^x = 7^{-x}$
Неравенство принимает вид:
$7^{2x+2} < 7^{-x}$
Основание степени $7 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$2x + 2 < -x$
Решим линейное неравенство:
$2x + x < -2$
$3x < -2$
$x < -\frac{2}{3}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3})$
6) $0,2^{2x-9} < 1$
Приведем обе части к основанию 0,2.
Представим 1 в виде степени с основанием 0,2:
$1 = 0,2^0$
Неравенство принимает вид:
$0,2^{2x-9} < 0,2^0$
Так как основание степени $0 < 0,2 < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$2x - 9 > 0$
Решим полученное линейное неравенство:
$2x > 9$
$x > \frac{9}{2}$
$x > 4,5$
Ответ: $x \in (4,5; +\infty)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.3 расположенного на странице 23 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.3 (с. 23), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.