Номер 3.3, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 3. Показательные неравенства. Упражнения - номер 3.3, страница 23.

Учебник.

3.3. Решите неравенство:

1) $6^{7x-1} > 6$;

2) $10^x < 0,001$;

3) $(\frac{2}{3})^x > (\frac{3}{2})^4$;

4) $3^{2x^2-6} > \frac{1}{81}$;

5) $49^{x+1} < (\frac{1}{7})^x$;

6) $0,2^{2x-9} < 1$.

Решение.

Решение 2.

1) $6^{7x-1} > 6$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 6.

Представим правую часть неравенства как степень с основанием 6:

$6 = 6^1$

Получаем неравенство:

$6^{7x-1} > 6^1$

Так как основание степени $6 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$7x - 1 > 1$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$7x > 1 + 1$

$7x > 2$

$x > \frac{2}{7}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{7}; +\infty)$

2) $10^x < 0,001$

Приведем обе части неравенства к основанию 10.

Представим 0,001 в виде степени с основанием 10:

$0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$

Неравенство принимает вид:

$10^x < 10^{-3}$

Основание степени $10 > 1$, поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x < -3$

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$

3) $(\frac{2}{3})^x > (\frac{3}{2})^4$

Приведем обе части к одному основанию. Удобно выбрать основание $\frac{2}{3}$.

Используем свойство степеней $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$ для правой части:

$(\frac{3}{2})^4 = ((\frac{2}{3})^{-1})^4 = (\frac{2}{3})^{-4}$

Получаем неравенство:

$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^{-4}$

Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -4$

Ответ: $x \in (-\infty; -4)$

4) $3^{2x^2 - 6} > \frac{1}{81}$

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Представим правую часть в виде степени с основанием 3:

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

Неравенство принимает вид:

$3^{2x^2 - 6} > 3^{-4}$

Основание степени $3 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x^2 - 6 > -4$

Решим полученное квадратное неравенство:

$2x^2 > -4 + 6$

$2x^2 > 2$

$x^2 > 1$

Решением этого неравенства являются все $x$, модуль которых больше 1. Это можно записать как совокупность двух неравенств: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

5) $49^{x+1} < (\frac{1}{7})^x$

Приведем обе части неравенства к основанию 7.

Преобразуем левую часть:

$49^{x+1} = (7^2)^{x+1} = 7^{2(x+1)} = 7^{2x+2}$

Преобразуем правую часть:

$(\frac{1}{7})^x = (7^{-1})^x = 7^{-x}$

Неравенство принимает вид:

$7^{2x+2} < 7^{-x}$

Основание степени $7 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x + 2 < -x$

Решим линейное неравенство:

$2x + x < -2$

$3x < -2$

$x < -\frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3})$

6) $0,2^{2x-9} < 1$

Приведем обе части к основанию 0,2.

Представим 1 в виде степени с основанием 0,2:

$1 = 0,2^0$

Неравенство принимает вид:

$0,2^{2x-9} < 0,2^0$

Так как основание степени $0 < 0,2 < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 9 > 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x > 9$

$x > \frac{9}{2}$

$x > 4,5$

Ответ: $x \in (4,5; +\infty)$