Номер 1.3, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.3, страница 10.

Учебник.

1.3. Докажите, что:

1) $\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{2}}$

2) $4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = (16^{\sqrt{3}})^{-2}$

3) $\frac{12\sqrt{48} \cdot 2\sqrt[4]{12}}{\sqrt{108} \cdot 6\sqrt{27}} = 6\sqrt{3}$

Решение.

Решение 2.

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{8} - \sqrt{2}}$

Далее, упростим показатель степени. Представим $\sqrt{8}$ в виде $\sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим это в показатель:

$\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = (2-1)\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Таким образом, левая часть выражения равна:

$5^{\sqrt{2}}$

Мы получили, что левая часть равенства $5^{\sqrt{2}}$ равна его правой части $5^{\sqrt{2}}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем обе его части, приведя степени к основанию 2.

Преобразуем левую часть: $4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}}$

Представим основания 4 и 1/8 как степени числа 2: $4=2^2$, $\frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$.

Также упростим показатель степени: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим эти значения в левую часть:

$(2^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (2^{-3})^{3\sqrt{3}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 2^{-3 \cdot 3\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-9\sqrt{3}}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{\sqrt{3} - 9\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}$

Преобразуем правую часть: $(16^{\sqrt{3}})^{-2}$

Представим основание 16 как степень числа 2: $16=2^4$.

Подставим это значение в правую часть:

$((2^4)^{\sqrt{3}})^{-2} = (2^{4\sqrt{3}})^{-2}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{4\sqrt{3} \cdot (-2)} = 2^{-8\sqrt{3}}$

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же значению $2^{-8\sqrt{3}}$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим корни в показателях степеней:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$; $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$; $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$; $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}}} = \frac{12^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{4 \cdot 2\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}} \cdot 6^{3\sqrt{3}}} = \frac{12^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}} \cdot 6^{3\sqrt{3}}}$

Теперь представим основания степеней 12, 4 и 6 через их простые множители (2 и 3): $12 = 2^2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$.

$\frac{(2^2 \cdot 3)^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{(2^2)^{6\sqrt{3}} \cdot (2 \cdot 3)^{3\sqrt{3}}} = \frac{(2^2)^{4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{2 \cdot 6\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{8\sqrt{3} + 8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3} + 3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{15\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$

Выполним деление, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{16\sqrt{3} - 15\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$

Наконец, применим свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$:

$(2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}}$

Мы получили, что левая часть равна $6^{\sqrt{3}}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Тождество доказано.