Номер 1.3, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.3, страница 10.
№1.3 (с. 10)
Учебник. №1.3 (с. 10)
скриншот условия

1.3. Докажите, что:
1) $\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{2}}$
2) $4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = (16^{\sqrt{3}})^{-2}$
3) $\frac{12\sqrt{48} \cdot 2\sqrt[4]{12}}{\sqrt{108} \cdot 6\sqrt{27}} = 6\sqrt{3}$
Решение. №1.3 (с. 10)

Решение 2. №1.3 (с. 10)
1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{8} - \sqrt{2}}$
Далее, упростим показатель степени. Представим $\sqrt{8}$ в виде $\sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим это в показатель:
$\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = (2-1)\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Таким образом, левая часть выражения равна:
$5^{\sqrt{2}}$
Мы получили, что левая часть равенства $5^{\sqrt{2}}$ равна его правой части $5^{\sqrt{2}}$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
2) Для доказательства тождества преобразуем обе его части, приведя степени к основанию 2.
Преобразуем левую часть: $4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}}$
Представим основания 4 и 1/8 как степени числа 2: $4=2^2$, $\frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$.
Также упростим показатель степени: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим эти значения в левую часть:
$(2^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (2^{-3})^{3\sqrt{3}}$
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$2^{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 2^{-3 \cdot 3\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-9\sqrt{3}}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$2^{\sqrt{3} - 9\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}$
Преобразуем правую часть: $(16^{\sqrt{3}})^{-2}$
Представим основание 16 как степень числа 2: $16=2^4$.
Подставим это значение в правую часть:
$((2^4)^{\sqrt{3}})^{-2} = (2^{4\sqrt{3}})^{-2}$
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$2^{4\sqrt{3} \cdot (-2)} = 2^{-8\sqrt{3}}$
Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же значению $2^{-8\sqrt{3}}$, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
3) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим корни в показателях степеней:
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$; $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$; $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$; $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}}} = \frac{12^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{4 \cdot 2\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}} \cdot 6^{3\sqrt{3}}} = \frac{12^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}} \cdot 6^{3\sqrt{3}}}$
Теперь представим основания степеней 12, 4 и 6 через их простые множители (2 и 3): $12 = 2^2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$.
$\frac{(2^2 \cdot 3)^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{(2^2)^{6\sqrt{3}} \cdot (2 \cdot 3)^{3\sqrt{3}}} = \frac{(2^2)^{4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{2 \cdot 6\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{2^{8\sqrt{3} + 8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3} + 3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{15\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$
Выполним деление, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{16\sqrt{3} - 15\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$
Наконец, применим свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$:
$(2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}}$
Мы получили, что левая часть равна $6^{\sqrt{3}}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.3 расположенного на странице 10 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.3 (с. 10), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.