Номер 1.5, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.5, страница 11.

Учебник.

1.5. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что:

1) $(\frac{7}{9})^{3,2} < (\frac{7}{9})^{2,9};$

2) $(\frac{4}{3})^{1,8} > (\frac{4}{3})^{1,6}?$

Решение.

Решение 2.

1) Утверждение $(\frac{7}{9})^{3.2} < (\frac{7}{9})^{2.9}$ основано на свойстве монотонности показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание степени $a = \frac{7}{9}$. Так как числитель меньше знаменателя ($7 < 9$), то основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Показательная функция $y = a^x$ при $0 < a < 1$ является строго убывающей. Это означает, что для любых показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$. Иными словами, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели в заданном неравенстве: $3.2 > 2.9$. Поскольку основание $a = \frac{7}{9} < 1$, то знак неравенства между значениями функции меняется на противоположный: $(\frac{7}{9})^{3.2} < (\frac{7}{9})^{2.9}$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве убывания показательной функции $y = a^x$ при основании $0 < a < 1$.

2) Утверждение $(\frac{4}{3})^{1.8} > (\frac{4}{3})^{1.6}$ также основано на свойстве монотонности показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание степени $a = \frac{4}{3}$. Так как числитель больше знаменателя ($4 > 3$), то основание удовлетворяет условию $a > 1$.

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$ является строго возрастающей. Это означает, что для любых показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. Иными словами, большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели в заданном неравенстве: $1.8 > 1.6$. Поскольку основание $a = \frac{4}{3} > 1$, то знак неравенства между значениями функции сохраняется: $(\frac{4}{3})^{1.8} > (\frac{4}{3})^{1.6}$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве возрастания показательной функции $y = a^x$ при основании $a > 1$.