Страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$?

1. Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ называют показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

Обозначается это как $\log_a b$. Таким образом, запись $\log_a b = c$ полностью эквивалентна записи $a^c = b$.

По сути, вычисление логарифма — это нахождение показателя степени. Например, чтобы найти $\log_2 8$, мы задаемся вопросом: "в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 8?". Ответ: в 3-ю, так как $2^3 = 8$. Значит, $\log_2 8 = 3$.

Из определения логарифма напрямую следует основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$

Это тождество показывает, что операция возведения в степень и операция логарифмирования по одному и тому же основанию являются взаимно обратными.

Логарифм $\log_a b$ определен (имеет смысл) только при выполнении следующих условий:

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $b > 0$.
• Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) называется такое число $c$, что равенство $a^c = b$ является верным.

2. Какое равенство называют основным логарифмическим тождеством?

Основное логарифмическое тождество — это равенство, которое является прямым следствием определения логарифма. Давайте разберем его по шагам.

1. Определение логарифма. Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где основание $a$ — положительное, не равное единице число) называется такой показатель степени $c$, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Математически это определение записывается так:

$ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $

Здесь важны ограничения: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

2. Вывод тождества. Основное логарифмическое тождество получается, если мы объединим две части определения. Мы знаем, что $a^c = b$ и $c = \log_a b$. Если мы подставим второе выражение в первое (то есть заменим $c$ на $ \log_a b $), то получим:

$ a^{\log_a b} = b $

Это и есть основное логарифмическое тождество. Оно показывает, что операция возведения в степень и операция логарифмирования по одному и тому же основанию являются взаимно обратными.

Таким образом, тождество справедливо при тех же условиях, что и определение логарифма: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

Ответ: Основным логарифмическим тождеством называют равенство $a^{\log_a b} = b$, которое справедливо при $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

3. Какой логарифм называют десятичным?

Десятичным логарифмом называют логарифм по основанию 10. Это один из наиболее часто используемых на практике видов логарифмов (наряду с натуральным). Его широкое применение связано с тем, что в основе нашей системы счисления лежит число 10.

По определению, десятичный логарифм числа $b$ — это показатель степени $y$, в которую нужно возвести основание 10, чтобы получить число $b$.

Для десятичного логарифма введена специальная краткая запись. Вместо полной формы $log_{10}(b)$ принято писать $lg(b)$. Таким образом, равенство $y = lg(b)$ эквивалентно равенству $10^y = b$. При этом, как и для любого логарифма, число под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным: $b > 0$.

Примеры:

• $lg(100) = 2$, потому что $10^2 = 100$.
• $lg(1000) = 3$, потому что $10^3 = 1000$.
• $lg(1) = 0$, потому что $10^0 = 1$.
• $lg(0.1) = -1$, потому что $10^{-1} = 0.1$.

Ответ: десятичным называют логарифм по основанию 10.

4. Сформулируйте свойства логарифмов.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Определение логарифма можно записать в виде тождества, которое также является одним из свойств.

Для существования логарифма должны выполняться следующие условия: основание $a > 0$ и $a \ne 1$, а логарифмируемое число $b > 0$.

Основные свойства логарифмов:

1. Основное логарифмическое тождество

Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Оно гласит, что если основание $a$ возвести в степень, равную логарифму числа $b$ по этому же основанию $a$, то получится число $b$.

Ответ: $a^{\log_a b} = b$

2. Логарифм произведения

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов по тому же основанию. Это свойство позволяет заменять логарифм произведения на сумму логарифмов.

Ответ: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

3. Логарифм частного (дроби)

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя по тому же основанию. Это свойство позволяет заменять логарифм дроби на разность логарифмов.

Ответ: $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$

4. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Это свойство позволяет выносить показатель степени за знак логарифма.

Ответ: $\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x$

5. Формула перехода к новому основанию

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ равен отношению логарифма числа $b$ по новому основанию $c$ к логарифму старого основания $a$ по тому же новому основанию $c$. Это свойство позволяет переходить к более удобному основанию (например, к $10$ или $e$).

Ответ: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

6. Следствие из формулы перехода к новому основанию

Частным случаем предыдущей формулы (когда $c=b$) является формула, позволяющая "перевернуть" логарифм, то есть поменять местами основание логарифма и число под знаком логарифма.

Ответ: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

7. Логарифм единицы

Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0=1$).

Ответ: $\log_a 1 = 0$

8. Логарифм основания

Логарифм числа, равного основанию, равен единице, так как любое число в первой степени равно самому себе ($a^1=a$).

Ответ: $\log_a a = 1$

9. Свойство степени в основании логарифма

Если основание логарифма является степенью $a^k$, то показатель этой степени $k$ можно вынести за знак логарифма как обратное число (то есть $1/k$).

Ответ: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$

10. Обобщенное свойство для степеней

Это свойство объединяет свойство логарифма степени и свойство степени в основании. Показатель степени логарифмируемого числа выносится в числитель, а показатель степени основания — в знаменатель.

Ответ: $\log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b$

4.1. Верно ли равенство:

1) $\log_7 \frac{1}{49} = -3;$

2) $\log_{25} 5 = 2;$

3) $\log_5 125 = \frac{1}{3};$

4) $\log_3 \frac{1}{81} = -4;$

5) $\log_{0,01} 10 = 2;$

6) $\lg 0,0001 = -4;$

7) $\log_{\frac{1}{9}} 3\sqrt[3]{3} = \frac{2}{3};$

8) $\log_{\sqrt{5}} 0,2 = -2?$

1) Для проверки равенства $\log_7 \frac{1}{49} = -3$ вычислим значение логарифма в левой части. Так как $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$, то по свойству логарифма $\log_a a^x = x$ имеем: $\log_7 \frac{1}{49} = \log_7 7^{-2} = -2$. Сравнивая полученный результат с правой частью равенства, видим, что $-2 \neq -3$. Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) Проверим равенство $\log_{25} 5 = 2$. Представим основание логарифма как степень числа 5: $25=5^2$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получаем: $\log_{25} 5 = \log_{5^2} 5 = \frac{1}{2} \log_5 5 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \neq 2$, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

3) Проверим равенство $\log_5 125 = \frac{1}{3}$. Вычислим значение логарифма. Поскольку $125 = 5^3$, имеем $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$. Сравнивая результат с правой частью, видим, что $3 \neq \frac{1}{3}$. Равенство неверно.
Ответ: неверно.

4) Проверим равенство $\log_3 \frac{1}{81} = -4$. Вычислим значение логарифма в левой части. Так как $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$, получаем $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4$. Правая часть равенства также равна $-4$. Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

5) Проверим равенство $\log_{0.01} 10 = 2$. Представим основание логарифма в виде степени числа 10: $0.01 = 10^{-2}$. Тогда, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получим: $\log_{0.01} 10 = \log_{10^{-2}} 10^1 = \frac{1}{-2} \log_{10} 10 = -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} \neq 2$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

6) Проверим равенство $\lg 0.0001 = -4$. Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Представим $0.0001$ как степень 10: $0.0001 = 10^{-4}$. Тогда $\lg 0.0001 = \log_{10} 10^{-4} = -4$. Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.
Ответ: верно.

7) Проверим равенство $\log_{\frac{1}{9}} 3\sqrt[3]{3} = \frac{2}{3}$. Сначала преобразуем основание и аргумент логарифма к степеням одного числа (в данном случае 3). Основание: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$. Аргумент: $3\sqrt[3]{3} = 3^1 \cdot 3^{1/3} = 3^{1+\frac{1}{3}} = 3^{4/3}$. Теперь вычислим логарифм, используя свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$: $\log_{3^{-2}} 3^{4/3} = \frac{4/3}{-2} \log_3 3 = \frac{4/3}{-2} \cdot 1 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Так как $-\frac{2}{3} \neq \frac{2}{3}$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

8) Проверим равенство $\log_{\sqrt{5}} 0.2 = -2$. Преобразуем основание и аргумент логарифма к степеням числа 5. Основание: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$. Аргумент: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Вычисляем логарифм: $\log_{\sqrt{5}} 0.2 = \log_{5^{1/2}} 5^{-1} = \frac{-1}{1/2} \log_5 5 = -2 \cdot 1 = -2$. Левая и правая части равны, следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

4.2. Найдите логарифм по основанию 2 числа:

1) 1;

2) 2;

3) 32;

4) $\sqrt{2}$;

5) 0,5;

6) $\frac{1}{8}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

8) $2\sqrt{2}$.

1)Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $ \log_a(b) $) — это показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Таким образом, равенство $ \log_a(b) = x $ эквивалентно равенству $ a^x = b $. В данном задании основание $a=2$.Нам нужно найти $ \log_2(1) $. Обозначим искомый логарифм через $x$, то есть $ \log_2(1) = x $. По определению логарифма, это означает, что $ 2^x = 1 $. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $ x=0 $.Ответ: 0

2)Найдем $ \log_2(2) $. Пусть $ \log_2(2) = x $. Это эквивалентно уравнению $ 2^x = 2 $. Очевидно, что $ 2^1 = 2 $, следовательно, $ x=1 $.Ответ: 1

3)Найдем $ \log_2(32) $. Пусть $ \log_2(32) = x $. Это означает, что $ 2^x = 32 $. Нам нужно представить число 32 в виде степени двойки. $ 2^1 = 2 $, $ 2^2 = 4 $, $ 2^3 = 8 $, $ 2^4 = 16 $, $ 2^5 = 32 $. Таким образом, $ 2^x = 2^5 $, откуда $ x=5 $.Ответ: 5

4)Найдем $ \log_2(\sqrt{2}) $. Пусть $ \log_2(\sqrt{2}) = x $. Тогда $ 2^x = \sqrt{2} $. Квадратный корень можно представить в виде степени с дробным показателем: $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $. Получаем уравнение $ 2^x = 2^{1/2} $, из которого следует, что $ x = \frac{1}{2} $, или $0,5$.Ответ: 0,5

5)Найдем $ \log_2(0,5) $. Пусть $ \log_2(0,5) = x $. Тогда $ 2^x = 0,5 $. Представим десятичную дробь 0,5 в виде обыкновенной: $ 0,5 = \frac{1}{2} $. Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получим $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $. Уравнение принимает вид $ 2^x = 2^{-1} $, откуда $ x = -1 $.Ответ: -1

6)Найдем $ \log_2(\frac{1}{8}) $. Пусть $ \log_2(\frac{1}{8}) = x $. Тогда $ 2^x = \frac{1}{8} $. Мы знаем, что $ 8 = 2^3 $. Следовательно, $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $. Получаем уравнение $ 2^x = 2^{-3} $, из которого следует, что $ x = -3 $.Ответ: -3

7)Найдем $ \log_2(\frac{1}{\sqrt{2}}) $. Пусть $ \log_2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = x $. Тогда $ 2^x = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Представим $ \sqrt{2} $ как $ 2^{1/2} $. Тогда $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2} $. Уравнение принимает вид $ 2^x = 2^{-1/2} $, откуда $ x = -\frac{1}{2} $, или $-0,5$.Ответ: -0,5

8)Найдем $ \log_2(2\sqrt{2}) $. Пусть $ \log_2(2\sqrt{2}) = x $. Тогда $ 2^x = 2\sqrt{2} $. Представим выражение $ 2\sqrt{2} $ в виде степени двойки. Используя свойства степеней, имеем: $ 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2} $. Получаем уравнение $ 2^x = 2^{3/2} $, из которого следует, что $ x = \frac{3}{2} $, или $1,5$.Ответ: 1,5