Страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.13. Вычислите:

1) $2^{\log_2 32}$;

2) $5^{\log_5 0,45}$;

3) $7^{2\log_7 2}$;

4) $64^{0,5\log_2 12}$;

5) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 6}$;

6) $6^{1+\log_6 5}$;

7) $\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{\frac{2}{3}} 8-2}$;

8) $6^{\log_{\frac{1}{6}} 3}$.

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае $a=2$ и $b=32$.
$2^{\log_2 32} = 32$.
Также можно сначала вычислить показатель степени: $\log_2 32 = 5$, так как $2^5 = 32$. Тогда выражение примет вид $2^5 = 32$.
Ответ: 32

2) Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном примере $a=5$ и $b=0.45$.
$5^{\log_5 0.45} = 0.45$.
Ответ: 0.45

3) Воспользуемся свойством степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$. Преобразуем показатель степени:
$2\log_7 2 = \log_7 2^2 = \log_7 4$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 4}$.
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$7^{\log_7 4} = 4$.
Ответ: 4

4) Сначала представим основание степени 64 как степень числа 2, так как основание логарифма в показателе равно 2. $64 = 2^6$.
$64^{0.5\log_2 12} = (2^6)^{0.5\log_2 12}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^6)^{0.5\log_2 12} = 2^{6 \cdot 0.5\log_2 12} = 2^{3\log_2 12}$.
Теперь применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$ к показателю:
$3\log_2 12 = \log_2 12^3$.
Исходное выражение равно $2^{\log_2 12^3}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$2^{\log_2 12^3} = 12^3 = 1728$.
Ответ: 1728

5) Представим основание степени $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$.
$(\frac{1}{3})^{\log_3 6} = (3^{-1})^{\log_3 6}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^{-1})^{\log_3 6} = 3^{-1 \cdot \log_3 6} = 3^{-\log_3 6}$.
Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:
$3^{-\log_3 6} = 3^{\log_3 6^{-1}} = 3^{\log_3 \frac{1}{6}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$3^{\log_3 \frac{1}{6}} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

6) Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$6^{1+\log_6 5} = 6^1 \cdot 6^{\log_6 5}$.
Теперь вычислим второй множитель, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 5} = 5$.
Тогда все выражение равно:
$6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30

7) Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$(\frac{2}{3})^{\log_{\frac{2}{3}} 8 - 2} = \frac{(\frac{2}{3})^{\log_{\frac{2}{3}} 8}}{(\frac{2}{3})^2}$.
Числитель, согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, равен 8.
Знаменатель равен $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.
Получаем дробь: $\frac{8}{\frac{4}{9}} = 8 \cdot \frac{9}{4} = 2 \cdot 9 = 18$.
Второй способ: преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов. $2 = 2\log_{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3}) = \log_{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3})^2 = \log_{\frac{2}{3}} (\frac{4}{9})$.
Тогда показатель равен $\log_{\frac{2}{3}} 8 - \log_{\frac{2}{3}} (\frac{4}{9})$. По свойству разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$:
$\log_{\frac{2}{3}} (\frac{8}{4/9}) = \log_{\frac{2}{3}} (8 \cdot \frac{9}{4}) = \log_{\frac{2}{3}} 18$.
Тогда исходное выражение равно $(\frac{2}{3})^{\log_{\frac{2}{3}} 18} = 18$.
Ответ: 18

8) Преобразуем логарифм в показателе, приведя его к основанию 6. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
Основание логарифма $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.
$\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_6 3 = -\log_6 3$.
Подставим в исходное выражение:
$6^{\log_{\frac{1}{6}} 3} = 6^{-\log_6 3}$.
Используем свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:
$6^{-\log_6 3} = 6^{\log_6 3^{-1}} = 6^{\log_6 \frac{1}{3}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$6^{\log_6 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

4.14. Вычислите:

1) $3^{\log_3 \frac{1}{27}}$;

2) $5^{\frac{1}{2}\log_5 49}$;

3) $4^{\log_2 9}$;

4) $\left(\frac{1}{9}\right)^{-2\log_3 12}$;

5) $10^{2 + \lg 8}$;

6) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3}$.

1) $3^{\log_3 \frac{1}{27}}$

Для решения воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание степени $a = 3$ совпадает с основанием логарифма, а число под логарифмом $b = \frac{1}{27}$.

Подставим значения в формулу:

$3^{\log_3 \frac{1}{27}} = \frac{1}{27}$

Другой способ:

Сначала вычислим показатель степени $\log_3 \frac{1}{27}$. Так как $\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$, то $\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3$.

Тогда исходное выражение равно $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$

2) $5^{\frac{1}{2}\log_5 49}$

Используем свойство логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$. Преобразуем показатель степени, внеся множитель $\frac{1}{2}$ под знак логарифма в качестве степени числа 49:

$\frac{1}{2}\log_5 49 = \log_5 49^{\frac{1}{2}} = \log_5 \sqrt{49} = \log_5 7$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$5^{\log_5 7}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 7} = 7$

Ответ: 7

3) $4^{\log_2 9}$

Основание степени (4) и основание логарифма (2) различны. Приведем их к одному основанию. Запишем 4 как $2^2$.

$4^{\log_2 9} = (2^2)^{\log_2 9}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{2 \cdot \log_2 9}$

Теперь используем свойство логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$ для показателя степени:

$2 \log_2 9 = \log_2 9^2 = \log_2 81$

Подставляем обратно в выражение:

$2^{\log_2 81}$

По основному логарифмическому тождеству, результат равен 81.

Ответ: 81

4) $(\frac{1}{9})^{-2\log_3 12}$

Преобразуем основание степени: $\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$.

Выражение принимает вид: $(3^{-2})^{-2\log_3 12}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перемножаем показатели:

$3^{(-2) \cdot (-2\log_3 12)} = 3^{4\log_3 12}$

Применим свойство логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$ к показателю:

$4\log_3 12 = \log_3 12^4$

Получаем выражение $3^{\log_3 12^4}$.

По основному логарифмическому тождеству, это равно $12^4$.

Вычислим $12^4$: $12^2 = 144$, $12^4 = 144^2 = 20736$.

Ответ: 20736

5) $10^{2 + \lg 8}$

Напомним, что $\lg 8$ это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 8$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$10^{2 + \log_{10} 8} = 10^2 \cdot 10^{\log_{10} 8}$

Вычислим каждый множитель:

$10^2 = 100$

$10^{\log_{10} 8} = 8$ (по основному логарифмическому тождеству).

Перемножим результаты: $100 \cdot 8 = 800$.

Ответ: 800

6) $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3} = \frac{(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 6}}{(\frac{1}{2})^3}$

Вычислим числитель по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 6} = 6$

Вычислим знаменатель:

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{6}{\frac{1}{8}} = 6 \cdot 8 = 48$

Ответ: 48

4.15. Найдите значение выражения:

1) $\log_6 3 + \log_6 2;$

2) $\log_5 100 - \log_5 4;$

3) $\log_{49} 84 - \log_{49} 12;$

4) $\log_2 5 - \log_2 35 + \log_2 56;$

5) $\frac{\log_5 64}{\log_5 4};$

6) $2\lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16.$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$. Применяя это свойство, получаем: $\log_6 3 + \log_6 2 = \log_6(3 \cdot 2) = \log_6 6$. Так как логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице ($\log_a a = 1$), то $\log_6 6 = 1$.
Ответ: 1

2) Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$. Применяя это свойство, получаем: $\log_5 100 - \log_5 4 = \log_5(\frac{100}{4}) = \log_5 25$. Поскольку $5^2 = 25$, то значение логарифма $\log_5 25$ равно 2.
Ответ: 2

3) Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$. Получаем: $\log_{49} 84 - \log_{49} 12 = \log_{49}(\frac{84}{12}) = \log_{49} 7$. Чтобы найти значение $\log_{49} 7$, воспользуемся свойством логарифма от основания в степени $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Так как $49 = 7^2$, то $\log_{49} 7 = \log_{7^2} 7 = \frac{1}{2}\log_7 7 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: 0,5

4) Для решения применим свойства разности и суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$ и $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$. Объединим действия: $\log_2 5 - \log_2 35 + \log_2 56 = \log_2\left(\frac{5 \cdot 56}{35}\right)$. Упростим выражение под знаком логарифма: $\frac{5 \cdot 56}{35} = \frac{280}{35} = 8$. Таким образом, получаем $\log_2 8$. Поскольку $2^3 = 8$, значение выражения равно 3.
Ответ: 3

5) Для нахождения значения дроби используем формулу перехода к новому основанию логарифма в виде $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$. В данном случае $c=5, b=64, a=4$. Таким образом, выражение равно $\log_4 64$. Так как $4^3 = 64$, то $\log_4 64 = 3$.
Ответ: 3

6) В данном выражении $\lg$ обозначает десятичный логарифм (по основанию 10). Воспользуемся свойством степени логарифма $p \log_a x = \log_a(x^p)$. Преобразуем каждое слагаемое: $2\lg 5 = \lg(5^2) = \lg 25$ и $\frac{1}{2}\lg 16 = \lg(16^{1/2}) = \lg(\sqrt{16}) = \lg 4$. Теперь выражение имеет вид $\lg 25 + \lg 4$. Применим свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$: $\lg 25 + \lg 4 = \lg(25 \cdot 4) = \lg 100$. Поскольку $10^2 = 100$, то $\lg 100 = 2$.
Ответ: 2

4.16. Вычислите значение выражения:

1) $ \lg 8 + \lg 12,5; $

2) $ \log_3 162 - \log_3 2; $

3) $ \frac{\log_7 125}{\log_7 5}; $

4) $ 3\log_6 2 + \frac{3}{4}\log_6 81. $

1) Для вычисления выражения $lg 8 + lg 12,5$ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$. Обозначение $lg$ соответствует десятичному логарифму, то есть логарифму по основанию 10.
Применяя это свойство, получаем:
$lg 8 + lg 12,5 = lg(8 \cdot 12,5) = lg(100)$.
Далее, по определению логарифма, $lg 100$ — это степень, в которую нужно возвести основание 10, чтобы получить 100. Поскольку $10^2 = 100$, то $lg 100 = 2$.
Ответ: 2

2) Для вычисления выражения $\log_3 162 - \log_3 2$ воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$.
Применяя это свойство, получаем:
$\log_3 162 - \log_3 2 = \log_3 (\frac{162}{2}) = \log_3 81$.
Теперь найдем значение $\log_3 81$. Это степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить 81. Так как $3^4 = 81$, то $\log_3 81 = 4$.
Ответ: 4

3) Рассмотрим выражение $\frac{\log_7 125}{\log_7 5}$. Для его упрощения можно использовать формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ или свойство степени логарифма $ \log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$. Воспользуемся вторым способом.
Заметим, что $125 = 5^3$. Подставим это в числитель:
$\log_7 125 = \log_7 (5^3)$.
По свойству степени логарифма вынесем показатель степени за знак логарифма:
$\log_7 (5^3) = 3 \cdot \log_7 5$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$\frac{3 \cdot \log_7 5}{\log_7 5}$.
Сократив $\log_7 5$ в числителе и знаменателе, получаем 3.
Ответ: 3

4) Для вычисления выражения $3\log_6 2 + \frac{3}{4}\log_6 81$ воспользуемся свойством логарифма $p \cdot \log_a x = \log_a(x^p)$, а затем свойством суммы логарифмов.
Преобразуем каждое слагаемое:
Первое слагаемое: $3\log_6 2 = \log_6 (2^3) = \log_6 8$.
Второе слагаемое: $\frac{3}{4}\log_6 81 = \log_6 (81^{\frac{3}{4}})$. Вычислим $81^{\frac{3}{4}}$: $81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$. Таким образом, $\frac{3}{4}\log_6 81 = \log_6 27$.
Теперь исходное выражение принимает вид:
$\log_6 8 + \log_6 27$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$:
$\log_6 8 + \log_6 27 = \log_6 (8 \cdot 27) = \log_6 216$.
Поскольку $6^3 = 216$, то $\log_6 216 = 3$.
Ответ: 3

4.17. Представьте:

1) число 2 в виде степени числа 5;

2) число $\frac{1}{9}$ в виде степени числа 10;

3) число $\sqrt{14}$ в виде степени числа 7;

4) число 0,17 в виде степени числа 18.

1) число 2 в виде степени числа 5;

Чтобы представить число 2 в виде степени с основанием 5, необходимо найти такой показатель степени $x$, что $5^x = 2$.
По определению логарифма, показатель степени $x$ равен логарифму числа 2 по основанию 5: $x = \log_5 2$.
Следовательно, используя основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$, получаем:
$2 = 5^{\log_5 2}$.
Ответ: $5^{\log_5 2}$

2) число 1/9 в виде степени числа 10;

Представим число $\frac{1}{9}$ в виде степени с основанием 10. Для этого найдем показатель степени $x$, удовлетворяющий уравнению $10^x = \frac{1}{9}$.
Согласно определению логарифма, $x = \log_{10} \frac{1}{9}$. Десятичный логарифм ($\log_{10}$) также обозначается как $\lg$.
Таким образом, искомое представление:
$\frac{1}{9} = 10^{\log_{10} \frac{1}{9}}$.
Ответ: $10^{\log_{10} \frac{1}{9}}$

3) число √14 в виде степени числа 7;

Чтобы представить число $\sqrt{14}$ в виде степени с основанием 7, найдем такой показатель $x$, что $7^x = \sqrt{14}$.
Из определения логарифма следует, что $x = \log_7 \sqrt{14}$.
Показатель степени можно также упростить, используя свойство логарифма степени: $\log_7 \sqrt{14} = \log_7 (14^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_7 14$. Однако, прямое применение определения уже дает ответ.
Таким образом, число $\sqrt{14}$ можно представить в виде:
$\sqrt{14} = 7^{\log_7 \sqrt{14}}$.
Ответ: $7^{\log_7 \sqrt{14}}$

4) число 0,17 в виде степени числа 18.

Представим число 0,17 в виде степени с основанием 18. Ищем показатель степени $x$ из уравнения $18^x = 0,17$.
По определению логарифма, $x = \log_{18} 0,17$.
Следовательно, искомое представление имеет вид:
$0,17 = 18^{\log_{18} 0,17}$.
Ответ: $18^{\log_{18} 0,17}$

4.18. Представьте:

1) число 3 в виде степени числа 8;

2) число $\sqrt[3]{6}$ в виде степени числа $\frac{1}{2}$.

1) число 3 в виде степени числа 8;
Чтобы представить число 3 в виде степени числа 8, необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $8^x = 3$.
По определению логарифма, показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание 8, чтобы получить число 3, называется логарифмом числа 3 по основанию 8.
Это записывается как $x = \log_{8}3$.
Подставляя это значение $x$ в исходное уравнение, получаем искомое представление:
$3 = 8^{\log_{8}3}$.
Ответ: $8^{\log_{8}3}$.

2) число $\sqrt[3]{6}$ в виде степени числа $\frac{1}{2}$.
Чтобы представить число $\sqrt[3]{6}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$, нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{2})^x = \sqrt[3]{6}$.
По определению логарифма, показатель степени $x$ равен логарифму числа $\sqrt[3]{6}$ по основанию $\frac{1}{2}$:
$x = \log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{6}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{6} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{6}}$.
Данное выражение можно упростить. Преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов. Для этого представим основание логарифма и его аргумент в виде степеней с основанием 2:
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$
$\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$
Тогда показатель степени $x$ можно переписать в виде:
$x = \log_{2^{-1}}(6^{\frac{1}{3}})$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^p}(b^q) = \frac{q}{p}\log_a b$, получаем:
$x = \frac{1/3}{-1} \log_2 6 = -\frac{1}{3}\log_2 6$.
Таким образом, искомое представление в упрощенном виде:
$\sqrt[3]{6} = (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}\log_2 6}$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}\log_2 6}$.

4.19. Представьте:

1) число 6 в виде логарифма по основанию 2;

2) число −1 в виде логарифма по основанию 0,4;

3) число $\frac{1}{2}$ в виде логарифма по основанию 9;

4) число $\frac{2}{7}$ в виде логарифма по основанию 10.

1) Чтобы представить произвольное число $c$ в виде логарифма по основанию $a$, используется основное логарифмическое тождество в следующем виде: $c = \log_a(a^c)$.
Для данного случая, нам нужно представить число 6 в виде логарифма по основанию 2. Здесь $c=6$, а основание $a=2$.
Подставим эти значения в формулу:
$6 = \log_2(2^6)$
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$2^6 = 64$
Таким образом, мы получаем:
$6 = \log_2(64)$
Ответ: $\log_2(64)$

2) Представим число -1 в виде логарифма по основанию 0,4.
Воспользуемся той же формулой $c = \log_a(a^c)$. В этом случае $c = -1$, а основание $a = 0,4$.
Подставляем значения:
$-1 = \log_{0,4}(0,4^{-1})$
Вычислим значение $0,4^{-1}$:
$0,4^{-1} = \frac{1}{0,4} = \frac{1}{4/10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$
Следовательно, искомое представление:
$-1 = \log_{0,4}(2,5)$
Ответ: $\log_{0,4}(2,5)$

3) Представим число $\frac{1}{2}$ в виде логарифма по основанию 9.
Применяем формулу $c = \log_a(a^c)$, где $c = \frac{1}{2}$ и основание $a = 9$.
Получаем:
$\frac{1}{2} = \log_9(9^{\frac{1}{2}})$
Вычислим значение $9^{\frac{1}{2}}$:
$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$
Таким образом, получаем:
$\frac{1}{2} = \log_9(3)$
Ответ: $\log_9(3)$

4) Представим число $\frac{2}{7}$ в виде логарифма по основанию 10.
Используем формулу $c = \log_a(a^c)$, где $c = \frac{2}{7}$ и основание $a = 10$.
Подставляем значения:
$\frac{2}{7} = \log_{10}(10^{\frac{2}{7}})$
Выражение $10^{\frac{2}{7}}$ можно оставить в этом виде или представить в виде корня $\sqrt[7]{100}$. Для записи логарифма удобнее использовать степенную форму. Логарифм по основанию 10 также называют десятичным логарифмом и обозначают $\lg$.
Таким образом, искомое представление:
$\frac{2}{7} = \log_{10}(10^{\frac{2}{7}})$
Ответ: $\log_{10}(10^{\frac{2}{7}})$

4.20. Представьте:

1) число 4 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$;

2) число -2 в виде логарифма по основанию $\sqrt{2}$.

1) Чтобы представить число в виде логарифма по заданному основанию, можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством, представленным в виде $c = \log_a(a^c)$.

В нашем случае, нужно представить число $c=4$ в виде логарифма по основанию $a = \frac{1}{3}$.

Подставим эти значения в формулу:

$4 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^4\right)$

Теперь необходимо вычислить значение выражения, стоящего под знаком логарифма:

$\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$

Следовательно, число 4 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$ будет выглядеть так:

$4 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{81}\right)$

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{81}\right)$

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством $c = \log_a(a^c)$.

Здесь нам нужно представить число $c=-2$ в виде логарифма по основанию $a = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$-2 = \log_{\sqrt{2}}\left((\sqrt{2})^{-2}\right)$

Вычислим значение выражения под знаком логарифма:

$(\sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, число -2 в виде логарифма по основанию $\sqrt{2}$ можно представить следующим образом:

$-2 = \log_{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}\right)$

Ответ: $\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}\right)$