Номер 4.15, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.15, страница 33.

4.15. Найдите значение выражения:

1) $\log_6 3 + \log_6 2;$

2) $\log_5 100 - \log_5 4;$

3) $\log_{49} 84 - \log_{49} 12;$

4) $\log_2 5 - \log_2 35 + \log_2 56;$

5) $\frac{\log_5 64}{\log_5 4};$

6) $2\lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16.$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$. Применяя это свойство, получаем: $\log_6 3 + \log_6 2 = \log_6(3 \cdot 2) = \log_6 6$. Так как логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице ($\log_a a = 1$), то $\log_6 6 = 1$.
Ответ: 1

2) Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$. Применяя это свойство, получаем: $\log_5 100 - \log_5 4 = \log_5(\frac{100}{4}) = \log_5 25$. Поскольку $5^2 = 25$, то значение логарифма $\log_5 25$ равно 2.
Ответ: 2

3) Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$. Получаем: $\log_{49} 84 - \log_{49} 12 = \log_{49}(\frac{84}{12}) = \log_{49} 7$. Чтобы найти значение $\log_{49} 7$, воспользуемся свойством логарифма от основания в степени $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Так как $49 = 7^2$, то $\log_{49} 7 = \log_{7^2} 7 = \frac{1}{2}\log_7 7 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: 0,5

4) Для решения применим свойства разности и суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$ и $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$. Объединим действия: $\log_2 5 - \log_2 35 + \log_2 56 = \log_2\left(\frac{5 \cdot 56}{35}\right)$. Упростим выражение под знаком логарифма: $\frac{5 \cdot 56}{35} = \frac{280}{35} = 8$. Таким образом, получаем $\log_2 8$. Поскольку $2^3 = 8$, значение выражения равно 3.
Ответ: 3

5) Для нахождения значения дроби используем формулу перехода к новому основанию логарифма в виде $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$. В данном случае $c=5, b=64, a=4$. Таким образом, выражение равно $\log_4 64$. Так как $4^3 = 64$, то $\log_4 64 = 3$.
Ответ: 3

6) В данном выражении $\lg$ обозначает десятичный логарифм (по основанию 10). Воспользуемся свойством степени логарифма $p \log_a x = \log_a(x^p)$. Преобразуем каждое слагаемое: $2\lg 5 = \lg(5^2) = \lg 25$ и $\frac{1}{2}\lg 16 = \lg(16^{1/2}) = \lg(\sqrt{16}) = \lg 4$. Теперь выражение имеет вид $\lg 25 + \lg 4$. Применим свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$: $\lg 25 + \lg 4 = \lg(25 \cdot 4) = \lg 100$. Поскольку $10^2 = 100$, то $\lg 100 = 2$.
Ответ: 2