Номер 4.8, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.8, страница 32.

4.8. Найдите логарифм числа 729 по основанию:

1) 27;

2) 9;

3) 3;

4) $\frac{1}{27}$;

5) $\frac{1}{9}$;

6) $\frac{1}{3}$.

1) 27

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию 27, необходимо найти значение выражения $\log_{27}{729}$.
По определению логарифма, если $\log_{a}{b} = x$, то $a^x = b$.Пусть $x = \log_{27}{729}$, тогда $27^x = 729$.
Для решения этого уравнения представим основание 27 и число 729 как степени одного и того же числа. Удобнее всего использовать число 3, так как $27 = 3^3$.
$729 = 9 \times 81 = 9 \times 9^2 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(3^3)^x = 3^6$
$3^{3x} = 3^6$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3} = 2$
Следовательно, $\log_{27}{729} = 2$.

Ответ: 2

2) 9

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию 9, необходимо найти значение выражения $\log_{9}{729}$.
Пусть $x = \log_{9}{729}$, тогда $9^x = 729$.
Представим число 729 как степень числа 9:
$729 = 81 \times 9 = 9^2 \times 9 = 9^3$.
Подставим это значение в уравнение:
$9^x = 9^3$
Отсюда следует, что $x=3$.
Следовательно, $\log_{9}{729} = 3$.

Ответ: 3

3) 3

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию 3, необходимо найти значение выражения $\log_{3}{729}$.
Пусть $x = \log_{3}{729}$, тогда $3^x = 729$.
Представим число 729 как степень числа 3:
$729 = 3^6$.
Подставим это значение в уравнение:
$3^x = 3^6$
Отсюда следует, что $x=6$.
Следовательно, $\log_{3}{729} = 6$.

Ответ: 6

4) $\frac{1}{27}$

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию $\frac{1}{27}$, необходимо найти значение выражения $\log_{\frac{1}{27}}{729}$.
Пусть $x = \log_{\frac{1}{27}}{729}$, тогда $(\frac{1}{27})^x = 729$.
Представим основание и число как степени числа 3:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$729 = 3^6$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(3^{-3})^x = 3^6$
$3^{-3x} = 3^6$
Приравниваем показатели степеней:
$-3x = 6$
$x = \frac{6}{-3} = -2$
Следовательно, $\log_{\frac{1}{27}}{729} = -2$.

Ответ: -2

5) $\frac{1}{9}$

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию $\frac{1}{9}$, необходимо найти значение выражения $\log_{\frac{1}{9}}{729}$.
Пусть $x = \log_{\frac{1}{9}}{729}$, тогда $(\frac{1}{9})^x = 729$.
Представим основание и число как степени числа 9:
$\frac{1}{9} = 9^{-1}$
$729 = 9^3$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(9^{-1})^x = 9^3$
$9^{-x} = 9^3$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 3$
$x = -3$
Следовательно, $\log_{\frac{1}{9}}{729} = -3$.

Ответ: -3

6) $\frac{1}{3}$

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию $\frac{1}{3}$, необходимо найти значение выражения $\log_{\frac{1}{3}}{729}$.
Пусть $x = \log_{\frac{1}{3}}{729}$, тогда $(\frac{1}{3})^x = 729$.
Представим основание и число как степени числа 3:
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$729 = 3^6$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(3^{-1})^x = 3^6$
$3^{-x} = 3^6$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 6$
$x = -6$
Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}}{729} = -6$.

Ответ: -6