Номер 4.4, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.4, страница 32.

4.4. Найдите логарифм по основанию $\frac{1}{2}$ числа:

1) 1;

3) 8;

5) $\frac{1}{16}$;

7) $\sqrt{2}$;

2) 2;

4) 0,25;

6) $\frac{1}{\sqrt{2}};

8) 64.

1)По определению логарифма, $ \log_{1/2}{1} $ — это степень, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{2} $, чтобы получить 1. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.Следовательно, $ (\frac{1}{2})^0 = 1 $.Таким образом, $ \log_{1/2}{1} = 0 $.
Ответ: 0

2)Найдем $ \log_{1/2}{2} $. Обозначим искомое значение как $x$.$ \log_{1/2}{2} = x $По определению логарифма:$ (\frac{1}{2})^x = 2 $Представим $ \frac{1}{2} $ как $ 2^{-1} $:$ (2^{-1})^x = 2^1 $$ 2^{-x} = 2^1 $Приравниваем показатели степеней:$ -x = 1 $, откуда $ x = -1 $.
Ответ: -1

3)Найдем $ \log_{1/2}{8} $. Пусть $ \log_{1/2}{8} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = 8 $Представим обе части уравнения как степени числа 2. Мы знаем, что $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $ и $ 8 = 2^3 $.$ (2^{-1})^x = 2^3 $$ 2^{-x} = 2^3 $Отсюда $ -x = 3 $, то есть $ x = -3 $.
Ответ: -3

4)Найдем $ \log_{1/2}{0,25} $. Пусть $ \log_{1/2}{0,25} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = 0,25 $Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} $.$ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4} $Так как $ \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2 $, то:$ (\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^2 $Следовательно, $ x = 2 $.
Ответ: 2

5)Найдем $ \log_{1/2}{\frac{1}{16}} $. Пусть $ \log_{1/2}{\frac{1}{16}} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{16} $Поскольку $ 16 = 2^4 $, то $ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4 $.$ (\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^4 $Следовательно, $ x = 4 $.
Ответ: 4

6)Найдем $ \log_{1/2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} $. Пусть $ \log_{1/2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{\sqrt{2}} $Представим $ \sqrt{2} $ как степень числа 2: $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $. Тогда $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2} $.Также представим основание логарифма как степень 2: $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $.$ (2^{-1})^x = 2^{-1/2} $$ 2^{-x} = 2^{-1/2} $Отсюда $ -x = -\frac{1}{2} $, то есть $ x = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

7)Найдем $ \log_{1/2}{\sqrt{2}} $. Пусть $ \log_{1/2}{\sqrt{2}} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = \sqrt{2} $Представим обе части как степени числа 2. $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $ и $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $.$ (2^{-1})^x = 2^{1/2} $$ 2^{-x} = 2^{1/2} $Приравниваем показатели: $ -x = \frac{1}{2} $, откуда $ x = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

8)Найдем $ \log_{1/2}{64} $. Пусть $ \log_{1/2}{64} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = 64 $Представим обе части как степени числа 2. $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $ и $ 64 = 2^6 $.$ (2^{-1})^x = 2^6 $$ 2^{-x} = 2^6 $Отсюда $ -x = 6 $, то есть $ x = -6 $.
Ответ: -6