Номер 4.3, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.3, страница 32.

4.3. Найдите логарифм по основанию 3 числа:

1) $3$;

2) $\frac{1}{3}$;

3) $1$;

4) $81$;

5) $\frac{1}{9}$;

6) $\frac{1}{243}$;

7) $\sqrt{3}$;

8) $3\sqrt{3}$.

1) По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $ \log_a b $) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, $ \log_3 3 $ — это такая степень $c$, что $ 3^c = 3 $. Очевидно, что $ 3^1 = 3 $. Следовательно, искомый логарифм равен 1.

Ответ: 1

2) Нам нужно найти $ \log_3 \left(\frac{1}{3}\right) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = \frac{1}{3} $. Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, мы можем записать $ \frac{1}{3} $ как $ 3^{-1} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{-1} $, откуда $ c = -1 $.

Ответ: -1

3) Нам нужно найти $ \log_3 1 $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = 1 $. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, то есть $ a^0 = 1 $. Значит, $ 3^0 = 1 $, и $ c = 0 $.

Ответ: 0

4) Нам нужно найти $ \log_3 81 $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = 81 $. Представим число 81 как степень с основанием 3: $ 81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4 $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^4 $, откуда $ c = 4 $.

Ответ: 4

5) Нам нужно найти $ \log_3 \left(\frac{1}{9}\right) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = \frac{1}{9} $. Сначала представим 9 как степень числа 3: $ 9 = 3^2 $. Тогда $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{-2} $, откуда $ c = -2 $.

Ответ: -2

6) Нам нужно найти $ \log_3 \left(\frac{1}{243}\right) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = \frac{1}{243} $. Представим число 243 как степень с основанием 3. Мы знаем, что $ 3^4 = 81 $, тогда $ 3^5 = 81 \cdot 3 = 243 $. Следовательно, $ \frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{-5} $, откуда $ c = -5 $.

Ответ: -5

7) Нам нужно найти $ \log_3 (\sqrt{3}) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = \sqrt{3} $. Используя свойство, что корень можно представить в виде степени с дробным показателем $ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $, получаем $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{1/2} $, откуда $ c = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

8) Нам нужно найти $ \log_3 (3\sqrt{3}) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = 3\sqrt{3} $. Представим выражение $ 3\sqrt{3} $ в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $ 3 = 3^1 $ и $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем: $ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{3/2} $, откуда $ c = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $