Номер 4.16, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.16, страница 33.

4.16. Вычислите значение выражения:

1) $ \lg 8 + \lg 12,5; $

2) $ \log_3 162 - \log_3 2; $

3) $ \frac{\log_7 125}{\log_7 5}; $

4) $ 3\log_6 2 + \frac{3}{4}\log_6 81. $

1) Для вычисления выражения $lg 8 + lg 12,5$ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$. Обозначение $lg$ соответствует десятичному логарифму, то есть логарифму по основанию 10.
Применяя это свойство, получаем:
$lg 8 + lg 12,5 = lg(8 \cdot 12,5) = lg(100)$.
Далее, по определению логарифма, $lg 100$ — это степень, в которую нужно возвести основание 10, чтобы получить 100. Поскольку $10^2 = 100$, то $lg 100 = 2$.
Ответ: 2

2) Для вычисления выражения $\log_3 162 - \log_3 2$ воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$.
Применяя это свойство, получаем:
$\log_3 162 - \log_3 2 = \log_3 (\frac{162}{2}) = \log_3 81$.
Теперь найдем значение $\log_3 81$. Это степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить 81. Так как $3^4 = 81$, то $\log_3 81 = 4$.
Ответ: 4

3) Рассмотрим выражение $\frac{\log_7 125}{\log_7 5}$. Для его упрощения можно использовать формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ или свойство степени логарифма $ \log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$. Воспользуемся вторым способом.
Заметим, что $125 = 5^3$. Подставим это в числитель:
$\log_7 125 = \log_7 (5^3)$.
По свойству степени логарифма вынесем показатель степени за знак логарифма:
$\log_7 (5^3) = 3 \cdot \log_7 5$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$\frac{3 \cdot \log_7 5}{\log_7 5}$.
Сократив $\log_7 5$ в числителе и знаменателе, получаем 3.
Ответ: 3

4) Для вычисления выражения $3\log_6 2 + \frac{3}{4}\log_6 81$ воспользуемся свойством логарифма $p \cdot \log_a x = \log_a(x^p)$, а затем свойством суммы логарифмов.
Преобразуем каждое слагаемое:
Первое слагаемое: $3\log_6 2 = \log_6 (2^3) = \log_6 8$.
Второе слагаемое: $\frac{3}{4}\log_6 81 = \log_6 (81^{\frac{3}{4}})$. Вычислим $81^{\frac{3}{4}}$: $81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$. Таким образом, $\frac{3}{4}\log_6 81 = \log_6 27$.
Теперь исходное выражение принимает вид:
$\log_6 8 + \log_6 27$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$:
$\log_6 8 + \log_6 27 = \log_6 (8 \cdot 27) = \log_6 216$.
Поскольку $6^3 = 216$, то $\log_6 216 = 3$.
Ответ: 3