Страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.21. Вычислите:

1) $2^{3\log_2 5 + 4}$;

2) $8^{1 - \log_2 3}$;

3) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_9 2 - 3}$;

4) $7^{2\log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4}$;

5) $9^{2\log_3 2 + 4\log_{81} 2}$;

6) $2 \cdot 100^{\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2}$;

7) $\lg(25^{\log_5 0.8} + 9^{\log_3 0.6})$;

8) $27^{\frac{1}{\log_5 3}} + 25^{\frac{1}{\log_2 5}} - 36^{\frac{1}{\log_9 6}}$.

1)

Для решения используем свойства степеней и логарифмов: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$2^{3\log_2 5 + 4} = 2^{3\log_2 5} \cdot 2^4$

Преобразуем первый множитель:

$2^{3\log_2 5} = 2^{\log_2 5^3} = 2^{\log_2 125} = 125$

Теперь вычислим все выражение:

$125 \cdot 2^4 = 125 \cdot 16 = 2000$

Ответ: 2000

2)

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$. Также представим основание $8$ как степень $2$, т.е. $8=2^3$.

$8^{1 - \log_2 3} = \frac{8^1}{8^{\log_2 3}} = \frac{8}{(2^3)^{\log_2 3}}$

Упростим знаменатель, используя свойства $(a^m)^n = a^{mn}$ и $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:

$(2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27}$

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$2^{\log_2 27} = 27$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$

3)

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$. Представим основание $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$ и основание логарифма $9$ как $3^2$.

$(\frac{1}{3})^{\log_9 2 - 3} = \frac{(\frac{1}{3})^{\log_9 2}}{(\frac{1}{3})^3}$

Преобразуем числитель. Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_9 2 = \log_{3^2} 2 = \frac{1}{2}\log_3 2$

Тогда числитель равен:

$(\frac{1}{3})^{\log_9 2} = (3^{-1})^{\frac{1}{2}\log_3 2} = 3^{-\frac{1}{2}\log_3 2} = 3^{\log_3 2^{-1/2}} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Вычислим знаменатель:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{1/\sqrt{2}}{1/27} = \frac{27}{\sqrt{2}} = \frac{27\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{27\sqrt{2}}{2}$

4)

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$7^{2\log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4} = 7^{2\log_7 3} \cdot 7^{\log_{\sqrt{7}} 4}$

Упростим первый множитель:

$7^{2\log_7 3} = 7^{\log_7 3^2} = 7^{\log_7 9} = 9$

Упростим второй множитель. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, где $\sqrt{7} = 7^{1/2}$:

$\log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{7^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2}\log_7 4 = 2\log_7 4 = \log_7 4^2 = \log_7 16$

Тогда второй множитель равен:

$7^{\log_7 16} = 16$

Перемножим результаты:

$9 \cdot 16 = 144$

Ответ: 144

5)

Сначала упростим показатель степени. Используем свойства логарифмов $c \log_a b = \log_a b^c$, $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$. Основания $9=3^2$ и $81=3^4$.

$2\log_3 2 + 4\log_{81} 2 = \log_3 2^2 + 4\log_{3^4} 2 = \log_3 4 + 4 \cdot \frac{1}{4}\log_3 2 = \log_3 4 + \log_3 2 = \log_3 (4 \cdot 2) = \log_3 8$

Теперь подставим упрощенный показатель в исходное выражение:

$9^{\log_3 8} = (3^2)^{\log_3 8} = 3^{2\log_3 8} = 3^{\log_3 8^2} = 3^{\log_3 64}$

По основному логарифмическому тождеству:

$3^{\log_3 64} = 64$

Ответ: 64

6)

Сначала упростим показатель степени у числа $100$. $\lg$ - это десятичный логарифм ($\log_{10}$). Используем свойства $c \lg b = \lg b^c$ и $\lg b - \lg c = \lg(b/c)$.

$\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2 = \lg 8^{1/2} - \lg 2^2 = \lg \sqrt{8} - \lg 4 = \lg(2\sqrt{2}) - \lg 4 = \lg(\frac{2\sqrt{2}}{4}) = \lg(\frac{\sqrt{2}}{2})$

Теперь вычислим степень. Основание $100 = 10^2$.

$100^{\lg(\frac{\sqrt{2}}{2})} = (10^2)^{\lg(\frac{\sqrt{2}}{2})} = 10^{2\lg(\frac{\sqrt{2}}{2})} = 10^{\lg((\frac{\sqrt{2}}{2})^2)} = 10^{\lg(\frac{2}{4})} = 10^{\lg(\frac{1}{2})}$

По основному логарифмическому тождеству $10^{\lg a} = a$:

$10^{\lg(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}$

Наконец, умножим результат на $2$:

$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1

7)

Сначала вычислим выражение в скобках.

Для первого слагаемого $25^{\log_5 0.8}$, представим $25 = 5^2$:

$25^{\log_5 0.8} = (5^2)^{\log_5 0.8} = 5^{2\log_5 0.8} = 5^{\log_5 (0.8)^2} = 5^{\log_5 0.64} = 0.64$

Для второго слагаемого $9^{\log_3 0.6}$, представим $9 = 3^2$:

$9^{\log_3 0.6} = (3^2)^{\log_3 0.6} = 3^{2\log_3 0.6} = 3^{\log_3 (0.6)^2} = 3^{\log_3 0.36} = 0.36$

Теперь сложим полученные значения:

$0.64 + 0.36 = 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$\lg(1) = \log_{10}(1) = 0$

Ответ: 0

8)

Для решения используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $27^{\frac{1}{\log_5 3}} = 27^{\log_3 5}$. Представим $27=3^3$:

$(3^3)^{\log_3 5} = 3^{3\log_3 5} = 3^{\log_3 5^3} = 3^{\log_3 125} = 125$

Второе слагаемое: $25^{\frac{1}{\log_2 5}} = 25^{\log_5 2}$. Представим $25=5^2$:

$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$

Третье слагаемое: $36^{\frac{1}{\log_9 6}} = 36^{\log_6 9}$. Представим $36=6^2$:

$(6^2)^{\log_6 9} = 6^{2\log_6 9} = 6^{\log_6 9^2} = 6^{\log_6 81} = 81$

Теперь выполним арифметические операции:

$125 + 4 - 81 = 129 - 81 = 48$

Ответ: 48

4.22. Вычислите:

1) $2^{4\log_2 3 - 1}$;

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2}$;

3) $8^{1 - \frac{1}{3}\log_2 12}$;

4) $6^{\frac{1}{2}\log_6 9 - \log_{\frac{1}{6}} 3}$;

5) $12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5}$;

6) $1000^{\frac{1}{2}\lg 25 - 3\lg 2}$;

7) $\log_{13}\left(100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3}\right)$;

8) $5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3}$;

1) Для вычисления выражения $2^{4\log_2 3 - 1}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.Сначала применим свойство разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:$2^{4\log_2 3 - 1} = \frac{2^{4\log_2 3}}{2^1}$.Теперь преобразуем числитель. Используем свойство логарифма $k\log_b a = \log_b a^k$:$4\log_2 3 = \log_2 3^4 = \log_2 81$.Подставим это в выражение для числителя: $2^{\log_2 81}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $2^{\log_2 81} = 81$.Таким образом, исходное выражение равно $\frac{81}{2} = 40.5$.
Ответ: $40.5$.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{5})^{\log_{25} 9 + 2}$.Используем свойство суммы в показателе степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:$(\frac{1}{5})^{\log_{25} 9 + 2} = (\frac{1}{5})^{\log_{25} 9} \cdot (\frac{1}{5})^2$.Второй множитель равен $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.Преобразуем первый множитель. Представим основание степени как $5^{-1}$:$(\frac{1}{5})^{\log_{25} 9} = (5^{-1})^{\log_{25} 9} = 5^{-\log_{25} 9}$.Теперь преобразуем логарифм в показателе, используя формулу $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:$\log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \frac{2}{2}\log_5 3 = \log_5 3$.Подставляем обратно в выражение: $5^{-\log_5 3}$.Используя свойство $k\log_b a = \log_b a^k$, получаем $5^{\log_5 3^{-1}} = 5^{\log_5 \frac{1}{3}}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, это равно $\frac{1}{3}$.Итоговый результат: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{75}$.
Ответ: $\frac{1}{75}$.

3) Вычислим $8^{1 - \frac{1}{3}\log_2 12}$.Применим свойство разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:$8^{1 - \frac{1}{3}\log_2 12} = \frac{8^1}{8^{\frac{1}{3}\log_2 12}}$.Преобразуем знаменатель. Представим основание $8$ как $2^3$:$8^{\frac{1}{3}\log_2 12} = (2^3)^{\frac{1}{3}\log_2 12}$.По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $2^{3 \cdot \frac{1}{3}\log_2 12} = 2^{\log_2 12}$.Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, имеем $2^{\log_2 12} = 12$.Таким образом, исходное выражение равно $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

4) Рассмотрим выражение $6^{\frac{1}{2}\log_6 9 - \log_{\frac{1}{6}} 3}$.Преобразуем показатель степени.Используем свойство $k\log_b a = \log_b a^k$:$\frac{1}{2}\log_6 9 = \log_6 9^{\frac{1}{2}} = \log_6 3$.Далее, используем свойство $\log_{b^k} a = \frac{1}{k}\log_b a$:$\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = -\log_6 3$.Подставим преобразованные логарифмы в показатель степени:$\log_6 3 - (-\log_6 3) = \log_6 3 + \log_6 3 = 2\log_6 3$.Снова применим свойство $k\log_b a = \log_b a^k$:$2\log_6 3 = \log_6 3^2 = \log_6 9$.Таким образом, исходное выражение принимает вид $6^{\log_6 9}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $6^{\log_6 9} = 9$.
Ответ: $9$.

5) Вычислим $12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5}$.Применим свойство суммы в показателе степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:$12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 12^{\log_{144} 4} \cdot 12^{\log_{12} 5}$.Второй множитель, согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, равен $12^{\log_{12} 5} = 5$.Рассмотрим первый множитель $12^{\log_{144} 4}$. Преобразуем логарифм в показателе, приведя его к основанию 12:$\log_{144} 4 = \log_{12^2} 4 = \frac{1}{2}\log_{12} 4$.Тогда первый множитель равен $12^{\frac{1}{2}\log_{12} 4}$.По свойству $k\log_b a = \log_b a^k$, получаем $12^{\log_{12} 4^{\frac{1}{2}}} = 12^{\log_{12} 2}$.По основному логарифмическому тождеству, это равно $2$.Итоговый результат: $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: $10$.

6) Вычислим $1000^{\frac{1}{2}\lg 25 - 3\lg 2}$.Сначала преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов. Напомним, что $\lg x = \log_{10} x$.$\frac{1}{2}\lg 25 - 3\lg 2 = \lg 25^{\frac{1}{2}} - \lg 2^3 = \lg 5 - \lg 8$.Используя свойство разности логарифмов $\log_b m - \log_b n = \log_b \frac{m}{n}$, получаем:$\lg 5 - \lg 8 = \lg \frac{5}{8}$.Теперь подставим это в исходное выражение: $1000^{\lg \frac{5}{8}}$.Представим основание $1000$ как $10^3$:$(10^3)^{\lg \frac{5}{8}} = 10^{3\lg \frac{5}{8}}$.Используя свойство $k\log_b a = \log_b a^k$, имеем $10^{\lg (\frac{5}{8})^3}$.По основному логарифмическому тождеству ($10^{\log_{10} b} = b$), получаем:$(\frac{5}{8})^3 = \frac{5^3}{8^3} = \frac{125}{512}$.
Ответ: $\frac{125}{512}$.

7) Вычислим $\log_{13} (100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3})$.Вычислим значение выражения в скобках по частям.Первое слагаемое: $100^{\frac{1}{\log_7 10}}$.Используем свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$: $\frac{1}{\log_7 10} = \log_{10} 7 = \lg 7$.Выражение принимает вид $100^{\lg 7}$.Так как $100 = 10^2$, получаем $(10^2)^{\lg 7} = 10^{2\lg 7} = 10^{\lg 7^2} = 10^{\lg 49}$.По основному тождеству $10^{\lg 49} = 49$.Второе слагаемое: $2^{\log_2 15 + 3}$.Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $2^{\log_2 15} \cdot 2^3$.По основному тождеству $2^{\log_2 15} = 15$. А $2^3 = 8$.Произведение равно $15 \cdot 8 = 120$.Сумма в скобках равна $49 + 120 = 169$.Исходное выражение становится $\log_{13} 169$.Так как $169 = 13^2$, то $\log_{13} 169 = \log_{13} 13^2 = 2$.
Ответ: $2$.

8) Вычислим $5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3}$.Рассмотрим показатель степени: $\log_5 4 \cdot \log_2 3$.Преобразуем первый логарифм: $\log_5 4 = \log_5 2^2 = 2\log_5 2$.Теперь показатель степени равен $2\log_5 2 \cdot \log_2 3$.Воспользуемся свойством $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:$\log_5 2 \cdot \log_2 3 = \log_5 3$.Таким образом, показатель степени равен $2\log_5 3$.Подставим это в исходное выражение: $5^{2\log_5 3}$.Используем свойство $k\log_b a = \log_b a^k$:$5^{2\log_5 3} = 5^{\log_5 3^2} = 5^{\log_5 9}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $5^{\log_5 9} = 9$.
Ответ: $9$.

4.23. Вычислите:

1) $log_2 log_5 \sqrt[8]{5};$

2) $log_{\frac{2}{3}} log_{49} 343;$

3) $log_9 log_2 8;$

4) $log_2 \sin 135^{\circ};$

5) $log_3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{3};$

6) $log_{\frac{1}{2}} \cos 315^{\circ};$

7) $log_4 \sin \frac{\pi}{4};$

8) $log_{\frac{1}{3}} \operatorname{tg} (-120^{\circ}).$

1) Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_5 \sqrt[8]{5}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}}$. Используя свойство логарифма $log_a a^x = x$, получаем: $log_5 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_2 (\frac{1}{8})$. Представим $\frac{1}{8}$ как степень числа 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Тогда $log_2 (2^{-3}) = -3$. Ответ: -3

2) Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_{49} 343$. Представим основание и аргумент логарифма как степени одного и того же числа, в данном случае 7: $49 = 7^2$ и $343 = 7^3$. Получаем: $log_{49} 343 = log_{7^2} 7^3$. Используя свойство логарифма $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$, имеем: $\frac{3}{2} log_7 7 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_{\frac{2}{3}} (\frac{3}{2})$. Заметим, что $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$. Следовательно, $log_{\frac{2}{3}} ((\frac{2}{3})^{-1}) = -1$. Ответ: -1

3) Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_2 8$. Так как $8 = 2^3$, то $log_2 8 = log_2 2^3 = 3$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_9 3$. Чтобы найти значение этого логарифма, представим основание 9 как степень числа 3: $9=3^2$. Тогда $log_9 3 = log_{3^2} 3^1 = \frac{1}{2} log_3 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Ответ: 1/2

4) Сначала найдем значение $sin 135^\circ$. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. $sin 135^\circ = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь вычислим логарифм: $log_2 (\frac{\sqrt{2}}{2})$. Преобразуем аргумент логарифма в степень с основанием 2: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^1} = 2^{\frac{1}{2}-1} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Тогда $log_2 (2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}$. Ответ: -1/2

5) Сначала найдем значение $tg \frac{\pi}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен $60^\circ$. $tg \frac{\pi}{3} = tg 60^\circ = \sqrt{3}$. Теперь вычислим логарифм: $log_3 (\sqrt{3})$. Представим $\sqrt{3}$ как степень числа 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Тогда $log_3 (3^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$. Ответ: 1/2

6) Сначала найдем значение $cos 315^\circ$. Угол $315^\circ$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. $cos 315^\circ = cos(360^\circ - 45^\circ) = cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь вычислим логарифм: $log_{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$. Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Получаем $log_{2^{-1}} (2^{-\frac{1}{2}})$. Используя свойство $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$, имеем: $\frac{-\frac{1}{2}}{-1} log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Ответ: 1/2

7) Сначала найдем значение $sin \frac{\pi}{4}$. $sin \frac{\pi}{4} = sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь вычислим логарифм: $log_4 (\frac{\sqrt{2}}{2})$. Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $4 = 2^2$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Получаем $log_{2^2} (2^{-\frac{1}{2}})$. Используя свойство $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$, имеем: $\frac{-\frac{1}{2}}{2} log_2 2 = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$. Ответ: -1/4

8) Сначала найдем значение $tg(-120^\circ)$. Тангенс - нечетная функция, поэтому $tg(-120^\circ) = -tg(120^\circ)$. Угол $120^\circ$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен: $tg(120^\circ) = tg(180^\circ - 60^\circ) = -tg(60^\circ) = -\sqrt{3}$. Следовательно, $tg(-120^\circ) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$. Теперь вычислим логарифм: $log_{\frac{1}{3}} (\sqrt{3})$. Представим основание и аргумент как степени числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Получаем $log_{3^{-1}} (3^{\frac{1}{2}})$. Используя свойство $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$, имеем: $\frac{\frac{1}{2}}{-1} log_3 3 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$. Ответ: -1/2

4.24. Вычислите:

1) $\log_3 \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} \log_4 64$;

3) $\log_6 \operatorname{tg} 225^\circ$;

4) $\log_{\sqrt{3}} \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$.

1) Вычислим значение выражения $log_3 \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$.
Решение проведем в два этапа. Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$.
Обозначим его за $x$: $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x$.
По определению логарифма, это равенство эквивалентно $(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{125}$.
Поскольку $125 = 5^3$, мы можем переписать правую часть как $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$.
Таким образом, мы имеем уравнение $(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^3$.
Отсюда следует, что $x=3$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $log_3 3$.
По основному свойству логарифмов, $log_a a = 1$.
Следовательно, $log_3 3 = 1$.
Ответ: 1

2) Вычислим значение выражения $log_{\frac{1}{3}} \log_4 64$.
Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_4 64$.
Обозначим $\log_4 64 = y$.
По определению логарифма, $4^y = 64$.
Так как $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$, получаем уравнение $4^y = 4^3$.
Отсюда $y=3$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_{\frac{1}{3}} 3$.
Обозначим $log_{\frac{1}{3}} 3 = z$.
По определению логарифма, $(\frac{1}{3})^z = 3$.
Поскольку $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, мы можем переписать левую часть как $(3^{-1})^z = 3^{-z}$.
Получаем уравнение $3^{-z} = 3^1$.
Приравнивая показатели степени, получаем $-z = 1$, откуда $z = -1$.
Ответ: -1

3) Вычислим значение выражения $\log_6 \tg 225^\circ$.
Сначала найдем значение $\tg 225^\circ$.
Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти. Мы можем использовать формулу приведения: $\tg(180^\circ + \alpha) = \tg \alpha$.
$\tg 225^\circ = \tg(180^\circ + 45^\circ) = \tg 45^\circ$.
Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\tg 45^\circ = 1$.
Теперь подставим это значение в логарифм: $\log_6 1$.
По свойству логарифма, логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю: $log_a 1 = 0$.
Следовательно, $\log_6 1 = 0$.
Ответ: 0

4) Вычислим значение выражения $\log_{\sqrt{3}} \tg \frac{\pi}{6}$.
Сначала найдем значение $\tg \frac{\pi}{6}$.
Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$.
Значение тангенса этого угла равно $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Используя свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$, мы можем переписать $\frac{1}{\sqrt{3}}$ как $(\sqrt{3})^{-1}$.
Таким образом, выражение принимает вид $\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{-1}$.
Используя свойство логарифма $\log_a a^p = p$, получаем:
$\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{-1} = -1$.
Ответ: -1

4.25. Найдите x, если:

1) $\log_7 x = 2\log_7 8 - 4\log_7 2$;

2) $\lg x = 2 + \lg 3 - \lg 5$;

3) $\log_3 x = \frac{2}{3}\log_3 216 + \frac{1}{2}\log_3 25$;

4) $\lg x = \frac{2}{3}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 128 + 1$;

5) $\log_2 x = 3\log_2 5 - 2\log_2 25 - \lg 10$.

1) Дано уравнение $\log_7 x = 2\log_7 8 - 4\log_7 2$.
Для решения используем свойства логарифмов. Сначала применим свойство степени логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2\log_7 8 = \log_7(8^2) = \log_7 64$
$4\log_7 2 = \log_7(2^4) = \log_7 16$
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$\log_7 x = \log_7 64 - \log_7 16$
Теперь используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_7 x = \log_7(64/16)$
$\log_7 x = \log_7 4$
Из равенства логарифмов по одному основанию следует равенство их аргументов:
$x = 4$
Ответ: $x=4$.

2) Дано уравнение $\lg x = 2 + \lg 3 - \lg 5$.
Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).
Представим число 2 в виде десятичного логарифма, используя тот факт, что $\lg 10 = 1$:
$2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \lg 10 = \lg(10^2) = \lg 100$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\lg x = \lg 100 + \lg 3 - \lg 5$
Применим свойства суммы и разности логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$.
$\lg x = \lg(100 \cdot 3) - \lg 5$
$\lg x = \lg 300 - \lg 5$
$\lg x = \lg(300/5)$
$\lg x = \lg 60$
Следовательно, $x = 60$.
Ответ: $x=60$.

3) Дано уравнение $\log_3 x = \frac{2}{3}\log_3 216 + \frac{1}{2}\log_3 25$.
Применим свойство степени логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a(b^k)$:
$\frac{2}{3}\log_3 216 = \log_3(216^{2/3})$
$\frac{1}{2}\log_3 25 = \log_3(25^{1/2})$
Вычислим значения степеней:
$216^{2/3} = (\sqrt[3]{216})^2 = 6^2 = 36$
$25^{1/2} = \sqrt{25} = 5$
Подставим результаты в уравнение:
$\log_3 x = \log_3 36 + \log_3 5$
Теперь используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_3 x = \log_3(36 \cdot 5)$
$\log_3 x = \log_3 180$
Следовательно, $x = 180$.
Ответ: $x=180$.

4) Дано уравнение $\lg x = \frac{2}{3}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 128 + 1$.
Представим 1 в виде десятичного логарифма: $1 = \lg 10$.
$\lg x = \frac{2}{3}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 128 + \lg 10$
Применим свойство степени логарифма:
$\lg x = \lg(32^{2/3}) - \lg(128^{1/3}) + \lg 10$
Представим 32 и 128 как степени двойки ($32 = 2^5$, $128 = 2^7$) для упрощения:
$32^{2/3} = (2^5)^{2/3} = 2^{10/3}$
$128^{1/3} = (2^7)^{1/3} = 2^{7/3}$
Подставим обратно в уравнение:
$\lg x = \lg(2^{10/3}) - \lg(2^{7/3}) + \lg 10$
Объединим логарифмы, используя свойства разности и суммы:
$\lg x = \lg \left( \frac{2^{10/3}}{2^{7/3}} \cdot 10 \right)$
Упростим выражение в скобках. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$\frac{2^{10/3}}{2^{7/3}} = 2^{10/3 - 7/3} = 2^{3/3} = 2^1 = 2$
$\lg x = \lg(2 \cdot 10)$
$\lg x = \lg 20$
Следовательно, $x = 20$.
Ответ: $x=20$.

5) Дано уравнение $\log_2 x = 3\log_2 5 - 2\log_2 25 - \lg 10$.
Упростим последний член: $\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$.
Уравнение принимает вид:
$\log_2 x = 3\log_2 5 - 2\log_2 25 - 1$
Применим свойство степени логарифма:
$\log_2 x = \log_2(5^3) - \log_2(25^2) - 1$
$\log_2 x = \log_2 125 - \log_2 625 - 1$
Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.
$\log_2 x = \log_2 125 - \log_2 625 - \log_2 2$
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{125}{625}\right) - \log_2 2$
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{1}{5}\right) - \log_2 2$
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{1/5}{2}\right)$
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{1}{10}\right)$
Следовательно, $x = \frac{1}{10}$.
Ответ: $x=\frac{1}{10}$.

4.26. Найдите x, если:

1) $ \log_a x = 3\log_a 2 + 2\log_a 3; $

2) $ \log_a x = \frac{1}{4}\log_a 16 + 3\log_a 0,5; $

3) $ \lg x = \frac{2}{5}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 64 + 1. $

1) Для решения уравнения $ \log_a x = 3\log_a 2 + 2\log_a 3 $ воспользуемся свойствами логарифмов.

Используем свойство степени логарифма $ n \cdot \log_b c = \log_b (c^n) $:
$ 3\log_a 2 = \log_a (2^3) = \log_a 8 $
$ 2\log_a 3 = \log_a (3^2) = \log_a 9 $

Подставим полученные значения в исходное уравнение:
$ \log_a x = \log_a 8 + \log_a 9 $

Теперь используем свойство суммы логарифмов $ \log_b c + \log_b d = \log_b (c \cdot d) $:
$ \log_a x = \log_a (8 \cdot 9) $
$ \log_a x = \log_a 72 $

Так как основания логарифмов равны, то равны и их аргументы:
$ x = 72 $

Ответ: $x = 72$.

2) Решим уравнение $ \log_a x = \frac{1}{4}\log_a 16 + 3\log_a 0,5 $.

Применим свойство степени логарифма $ n \cdot \log_b c = \log_b (c^n) $:
$ \frac{1}{4}\log_a 16 = \log_a (16^{\frac{1}{4}}) = \log_a (\sqrt[4]{16}) = \log_a 2 $
$ 3\log_a 0,5 = \log_a (0,5^3) = \log_a ((\frac{1}{2})^3) = \log_a (\frac{1}{8}) $

Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$ \log_a x = \log_a 2 + \log_a (\frac{1}{8}) $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_b c + \log_b d = \log_b (c \cdot d) $:
$ \log_a x = \log_a (2 \cdot \frac{1}{8}) $
$ \log_a x = \log_a (\frac{2}{8}) = \log_a (\frac{1}{4}) $

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:
$ x = \frac{1}{4} = 0,25 $

Ответ: $x = 0,25$.

3) Решим уравнение $ \lg x = \frac{2}{5}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 64 + 1 $.

Напомним, что $ \lg $ — это десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов.

Применим свойство степени логарифма $ n \cdot \log_b c = \log_b (c^n) $:
$ \frac{2}{5}\lg 32 = \lg (32^{\frac{2}{5}}) = \lg ((2^5)^{\frac{2}{5}}) = \lg (2^2) = \lg 4 $
$ \frac{1}{3}\lg 64 = \lg (64^{\frac{1}{3}}) = \lg (\sqrt[3]{64}) = \lg 4 $

Представим 1 в виде десятичного логарифма: $ 1 = \lg 10 $.

Подставим все в исходное уравнение:
$ \lg x = \lg 4 - \lg 4 + \lg 10 $

Упростим выражение:
$ \lg x = 0 + \lg 10 $
$ \lg x = \lg 10 $

Так как основания логарифмов равны, то равны и их аргументы:
$ x = 10 $

Ответ: $x = 10$.

4.27. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{\log_7 27 - 2\log_7 3}{\log_7 45 + \log_7 0,2}$,

2) $\frac{\log_9 125 + 3\log_9 2}{\log_9 1,2 - \log_9 12}$.

Дано выражение: $ \frac{\log_7 27 - 2\log_7 3}{\log_7 45 + \log_7 0,2} $.

Для решения воспользуемся следующими свойствами логарифмов: свойство степени $n \log_b a = \log_b a^n$, свойство частного $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$ и свойство произведения $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$.

Сначала преобразуем числитель дроби. Применим свойство степени логарифма:
$ 2\log_7 3 = \log_7 3^2 = \log_7 9 $.
Тогда числитель примет вид:
$ \log_7 27 - \log_7 9 $.
Теперь применим свойство частного логарифмов:
$ \log_7 \frac{27}{9} = \log_7 3 $.

Далее преобразуем знаменатель дроби. Применим свойство произведения логарифмов:
$ \log_7 45 + \log_7 0,2 = \log_7 (45 \cdot 0,2) = \log_7 9 $.

Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:
$ \frac{\log_7 3}{\log_7 9} $.

Чтобы упростить это выражение, можно воспользоваться формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$, в нашем случае $\frac{\log_7 3}{\log_7 9} = \log_9 3$. Так как $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$, то $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.
Другой способ — представить $9$ как $3^2$ и снова воспользоваться свойством степени:
$ \frac{\log_7 3}{\log_7 3^2} = \frac{\log_7 3}{2\log_7 3} $.

Сократив общий множитель $ \log_7 3 $ в числителе и знаменателе, получаем конечный результат:
$ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

Дано выражение: $ \frac{\log_9 125 + 3\log_9 2}{\log_9 1,2 - \log_9 12} $.

Воспользуемся теми же свойствами логарифмов, что и в первом примере.

Преобразуем числитель дроби. Применим свойство степени логарифма:
$ 3\log_9 2 = \log_9 2^3 = \log_9 8 $.
Теперь применим свойство произведения логарифмов:
$ \log_9 125 + \log_9 8 = \log_9 (125 \cdot 8) = \log_9 1000 $.

Далее преобразуем знаменатель дроби. Применим свойство частного логарифмов:
$ \log_9 1,2 - \log_9 12 = \log_9 \frac{1,2}{12} = \log_9 0,1 $.

Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:
$ \frac{\log_9 1000}{\log_9 0,1} $.

Чтобы упростить это выражение, представим $1000$ как $10^3$ и $0,1$ как $10^{-1}$:
$ \frac{\log_9 10^3}{\log_9 10^{-1}} $.

Применим свойство степени логарифма к числителю и знаменателю:
$ \frac{3\log_9 10}{-1\log_9 10} = \frac{3\log_9 10}{-\log_9 10} $.

Сократив общий множитель $ \log_9 10 $ в числителе и знаменателе, получаем конечный результат:
$ \frac{3}{-1} = -3 $.

Ответ: $ -3 $.