Номер 5.2, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 5. Логарифмическая функция и её свойства. Упражнения - номер 5.2, страница 40.

Учебник.

5.2. На основании какого свойства логарифмической функции можно утверждать, что:

1) $ \lg 7 > \lg 5 $;

2) $ \log_{0.6} 4 < \log_{0.6} 3 $?

Решение.

Решение 2.

1) $\lg 7 > \lg 5$
Данное утверждение можно сделать на основании свойства монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. В данном неравенстве используется десятичный логарифм, который имеет основание $a = 10$.
Поскольку основание логарифма больше единицы ($a = 10 > 1$), логарифмическая функция $y = \lg x$ является строго возрастающей. Свойство возрастающей функции гласит, что если $x_2 > x_1$, то и $f(x_2) > f(x_1)$.
В нашем случае мы сравниваем аргументы $7$ и $5$. Так как $7 > 5$, то для возрастающей функции $y = \lg x$ справедливо неравенство $\lg 7 > \lg 5$.
Ответ: Утверждение основано на свойстве возрастания логарифмической функции при основании, большем единицы ($a > 1$).

2) $\log_{0.6} 4 < \log_{0.6} 3$
Это утверждение также основано на свойстве монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. Основание логарифма в этом неравенстве равно $a = 0.6$.
Поскольку основание логарифма больше нуля, но меньше единицы ($0 < a = 0.6 < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{0.6} x$ является строго убывающей. Свойство убывающей функции гласит, что если $x_2 > x_1$, то $f(x_2) < f(x_1)$.
В нашем случае мы сравниваем аргументы $4$ и $3$. Так как $4 > 3$, то для убывающей функции $y = \log_{0.6} x$ знак неравенства меняется на противоположный, и мы получаем $\log_{0.6} 4 < \log_{0.6} 3$.
Ответ: Утверждение основано на свойстве убывания логарифмической функции при основании, которое больше нуля, но меньше единицы ($0 < a < 1$).