Номер 5.8, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.8, страница 41.

5.8. Сравните с нулём:

1) $log_4 5$;

2) $log_2 \frac{1}{3}$;

3) $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$;

4) $log_{\frac{\pi}{3}} 2$.

1) Для сравнения $\log_4 5$ с нулём, воспользуемся свойством логарифма. Знак логарифма $\log_a b$ зависит от того, по какую сторону от 1 находятся основание $a$ и аргумент $b$.
В данном случае основание $a=4$, что больше 1 ($a > 1$). Аргумент $b=5$, что также больше 1 ($b > 1$).
Если основание и аргумент логарифма находятся по одну сторону от единицы (оба больше 1 или оба меньше 1), то логарифм положителен.
Другой способ: представим 0 как логарифм с основанием 4: $0 = \log_4 1$. Теперь сравним $\log_4 5$ и $\log_4 1$. Так как основание $4 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Поскольку $5 > 1$, то $\log_4 5 > \log_4 1$.
Следовательно, $\log_4 5 > 0$.
Ответ: $\log_4 5 > 0$.

2) Сравним $\log_2 \frac{1}{3}$ с нулём.
Основание логарифма $a=2$, что больше 1 ($a > 1$). Аргумент логарифма $b = \frac{1}{3}$, что меньше 1 ($0 < b < 1$).
Если основание логарифма больше 1, а аргумент находится между 0 и 1, то логарифм отрицателен.
Проверим иначе: представим 0 как $\log_2 1$. Сравниваем $\log_2 \frac{1}{3}$ и $\log_2 1$. Основание $2 > 1$, значит функция возрастающая. Так как $\frac{1}{3} < 1$, то и $\log_2 \frac{1}{3} < \log_2 1$.
Следовательно, $\log_2 \frac{1}{3} < 0$.
Ответ: $\log_2 \frac{1}{3} < 0$.

3) Сравним $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$ с нулём.
Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$, что меньше 1 ($0 < a < 1$). Аргумент логарифма $b=\frac{1}{2}$, что также меньше 1 ($0 < b < 1$).
Так как основание и аргумент находятся по одну сторону от единицы (оба меньше 1), логарифм положителен.
Проверим через сравнение с единицей: $0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$. Сравниваем $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$ и $\log_{\frac{1}{3}} 1$. Основание $\frac{1}{3} < 1$, значит логарифмическая функция убывающая, и меньшему аргументу соответствует большее значение логарифма. Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, то $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > \log_{\frac{1}{3}} 1$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > 0$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > 0$.

4) Сравним $\log_{\frac{\pi}{3}} 2$ с нулём.
Оценим основание логарифма $a=\frac{\pi}{3}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159...$, то $\frac{\pi}{3} > \frac{3}{3}$, то есть $\frac{\pi}{3} > 1$.
Основание $a=\frac{\pi}{3} > 1$. Аргумент $b=2 > 1$.
Так как и основание, и аргумент больше 1, логарифм положителен.
Для проверки представим 0 как $\log_{\frac{\pi}{3}} 1$. Сравниваем $\log_{\frac{\pi}{3}} 2$ и $\log_{\frac{\pi}{3}} 1$. Так как основание $\frac{\pi}{3} > 1$, функция возрастающая. Поскольку $2 > 1$, то $\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > \log_{\frac{\pi}{3}} 1$.
Следовательно, $\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > 0$.
Ответ: $\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > 0$.