Номер 5.15, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.15, страница 42.

5.15. Постройте на одной координатной плоскости графики функций

$y = \log_2 x$ и $y = \log_2 \frac{1}{x}$. Каково взаимное расположение построенных графиков?

Постройте на одной координатной плоскости графики функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_2 \frac{1}{x}$

Для построения графиков проанализируем каждую функцию и найдем их ключевые точки.
1. График $y = \log_2 x$. Это стандартная логарифмическая функция с основанием $2$, которое больше единицы. Область определения функции: $x > 0$. Функция является возрастающей на всей области определения. График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_2 1 = 0$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой для графика.
Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0.25$, $y = \log_2(0.25) = \log_2(2^{-2}) = -2$; точка $(0.25, -2)$
• при $x = 0.5$, $y = \log_2(0.5) = \log_2(2^{-1}) = -1$; точка $(0.5, -1)$
• при $x = 1$, $y = \log_2(1) = 0$; точка $(1, 0)$
• при $x = 2$, $y = \log_2(2) = 1$; точка $(2, 1)$
• при $x = 4$, $y = \log_2(4) = 2$; точка $(4, 2)$

2. График $y = \log_2 \frac{1}{x}$. Преобразуем данную функцию, используя свойство логарифма степени: $\log_a(b^p) = p \cdot \log_a b$.
$y = \log_2 \frac{1}{x} = \log_2(x^{-1}) = -1 \cdot \log_2 x = -\log_2 x$.
Таким образом, нам нужно построить график функции $y = -\log_2 x$. Область определения этой функции также $x > 0$. График этой функции можно получить из графика $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).
Найдем несколько точек для этого графика:

• при $x = 0.25$, $y = -\log_2(0.25) = -(-2) = 2$; точка $(0.25, 2)$
• при $x = 0.5$, $y = -\log_2(0.5) = -(-1) = 1$; точка $(0.5, 1)$
• при $x = 1$, $y = -\log_2(1) = 0$; точка $(1, 0)$
• при $x = 2$, $y = -\log_2(2) = -1$; точка $(2, -1)$
• при $x = 4$, $y = -\log_2(4) = -2$; точка $(4, -2)$

Ответ: Построение графиков производится путем нанесения вычисленных точек для каждой функции на координатную плоскость и их соединения плавными кривыми. График функции $y = \log_2 x$ — возрастающая кривая, проходящая через точки $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$. График функции $y = \log_2 \frac{1}{x}$ — убывающая кривая, проходящая через точки $(0.5, 1)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$.

Каково взаимное расположение построенных графиков?

Как было установлено при анализе второй функции, $y = \log_2 \frac{1}{x}$ является той же функцией, что и $y = -\log_2 x$.
Сравнение функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = -\log_2 x$ показывает, что для любого $x > 0$ выполняется равенство $y_2 = -y_1$.
Геометрически это означает, что точка $(x, y_2)$ на втором графике симметрична точке $(x, y_1)$ на первом графике относительно оси абсцисс ($Ox$). Следовательно, весь график функции $y = \log_2 \frac{1}{x}$ симметричен графику функции $y = \log_2 x$ относительно оси $Ox$.
Оба графика пересекаются в одной общей точке $(1, 0)$.

Ответ: Графики функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_2 \frac{1}{x}$ симметричны относительно оси абсцисс ($Ox$).