Номер 5.20, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.20, страница 42.

5.20. Между какими двумя последовательными целыми числами находится

число:

1) $log_2 29$;

2) $log_{\frac{1}{2}} 9$?

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_2 29$, необходимо найти такие целые числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется двойное неравенство $n < \log_2 29 < n+1$.
Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому неравенство $n < \log_2 29 < n+1$ эквивалентно неравенству $2^n < 29 < 2^{n+1}$.
Теперь найдем степени числа 2, между которыми находится число 29:
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
Мы видим, что $16 < 29 < 32$.
Следовательно, $2^4 < 29 < 2^5$.
Применив логарифм по основанию 2 ко всем частям этого неравенства, получим:
$\log_2(2^4) < \log_2 29 < \log_2(2^5)$
Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:
$4 < \log_2 29 < 5$
Таким образом, число $\log_2 29$ находится между последовательными целыми числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_{\frac{1}{2}} 9$, необходимо найти такие целые числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < \log_{\frac{1}{2}} 9 < n+1$.
Найдем степени основания логарифма, то есть числа $\frac{1}{2}$, между которыми находится число 9. Для удобства будем использовать степени двойки, так как $(\frac{1}{2})^k = 2^{-k}$.
Рассмотрим степени числа 2:
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
Очевидно, что $8 < 9 < 16$.
Теперь применим ко всем частям этого двойного неравенства логарифм по основанию $\frac{1}{2}$. Основание логарифма $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это значит, что при логарифмировании знаки неравенства меняются на противоположные:
$\log_{\frac{1}{2}} 8 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > \log_{\frac{1}{2}} 16$
Вычислим значения логарифмов по краям неравенства:
$\log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = -3 \cdot \log_2 2 = -3$
$\log_{\frac{1}{2}} 16 = \log_{2^{-1}} 2^4 = -4 \cdot \log_2 2 = -4$
Подставив эти значения в неравенство, получаем:
$-3 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > -4$
Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):
$-4 < \log_{\frac{1}{2}} 9 < -3$
Следовательно, число $\log_{\frac{1}{2}} 9$ находится между последовательными целыми числами -4 и -3.
Ответ: -4 и -3.