Номер 5.26, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.26, страница 43.

5.26. Постройте график функции:

1) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 2);$

2) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 1);$

3) $y = \log_{\frac{1}{3}}x - 2;$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}}x + 1;$

5) $y = -\log_{\frac{1}{3}}x;$

6) $y = \log_{\frac{1}{3}}(-x).$

Для построения графиков данных функций мы будем исходить из графика базовой логарифмической функции $y_0 = \log_{1/3} x$.

Основные характеристики базовой функции $y_0 = \log_{1/3} x$:

• Основание логарифма $a = 1/3$ находится в интервале $(0, 1)$, следовательно, функция является убывающей.
• Область определения функции: $x > 0$, то есть $(0, +\infty)$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось $Oy$).
• График проходит через ключевые точки: $(1, 0)$, так как $\log_{1/3} 1 = 0$; $(1/3, 1)$, так как $\log_{1/3} (1/3) = 1$; $(3, -1)$, так как $\log_{1/3} 3 = -1$.

Все остальные графики будут получены путем геометрических преобразований (сдвигов, отражений) графика базовой функции.

---

1) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x - 2)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения: $x - 2 > 0 \implies x > 2$.

Вертикальная асимптота: $x = 2$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ базового графика смещается в точку $(1+2, 0) = (3, 0)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (3-2) = \log_{1/3} 1 = 0$.
• Точка $(1/3, 1)$ смещается в точку $(1/3+2, 1) = (7/3, 1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (7/3-2) = \log_{1/3} (1/3) = 1$.
• Точка $(3, -1)$ смещается в точку $(3+2, -1) = (5, -1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (5-2) = \log_{1/3} 3 = -1$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, смещенную на 2 единицы вправо относительно графика $y=\log_{1/3} x$. Вертикальная асимптота $x=2$. График проходит через точки $(3, 0)$, $(7/3, 1)$, $(5, -1)$.

---

2) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его сдвига на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

Вертикальная асимптота: $x = -1$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ смещается в точку $(1-1, 0) = (0, 0)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (0+1) = \log_{1/3} 1 = 0$.
• Точка $(1/3, 1)$ смещается в точку $(1/3-1, 1) = (-2/3, 1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (-2/3+1) = \log_{1/3} (1/3) = 1$.
• Точка $(3, -1)$ смещается в точку $(3-1, -1) = (2, -1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (2+1) = \log_{1/3} 3 = -1$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, смещенную на 1 единицу влево относительно графика $y=\log_{1/3} x$. Вертикальная асимптота $x=-1$. График проходит через начало координат $(0, 0)$, а также точки $(-2/3, 1)$, $(2, -1)$.

---

3) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Область определения: $x > 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ смещается в точку $(1, 0-2) = (1, -2)$. Проверка: $y = \log_{1/3} 1 - 2 = 0 - 2 = -2$.
• Точка $(1/3, 1)$ смещается в точку $(1/3, 1-2) = (1/3, -1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (1/3) - 2 = 1 - 2 = -1$.
• Точка $(3, -1)$ смещается в точку $(3, -1-2) = (3, -3)$. Проверка: $y = \log_{1/3} 3 - 2 = -1 - 2 = -3$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, смещенную на 2 единицы вниз относительно графика $y=\log_{1/3} x$. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, -2)$, $(1/3, -1)$, $(3, -3)$.

---

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 1$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Область определения: $x > 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ смещается в точку $(1, 0+1) = (1, 1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} 1 + 1 = 0 + 1 = 1$.
• Точка $(1/3, 1)$ смещается в точку $(1/3, 1+1) = (1/3, 2)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (1/3) + 1 = 1 + 1 = 2$.
• Точка $(3, -1)$ смещается в точку $(3, -1+1) = (3, 0)$. Проверка: $y = \log_{1/3} 3 + 1 = -1 + 1 = 0$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, смещенную на 1 единицу вверх относительно графика $y=\log_{1/3} x$. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, 1)$, $(1/3, 2)$, $(3, 0)$.

---

5) $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).
Используя свойство логарифма $-\log_a b = \log_{1/a} b$, функцию можно переписать в виде $y = \log_3 x$. Это возрастающая логарифмическая функция.

Область определения: $x > 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ отражается в точку $(1, -0) = (1, 0)$. Проверка: $y = -\log_{1/3} 1 = -0 = 0$.
• Точка $(1/3, 1)$ отражается в точку $(1/3, -1)$. Проверка: $y = -\log_{1/3} (1/3) = -(1) = -1$.
• Точка $(3, -1)$ отражается в точку $(3, -(-1)) = (3, 1)$. Проверка: $y = -\log_{1/3} 3 = -(-1) = 1$.

Ответ: График функции представляет собой возрастающую логарифмическую кривую (эквивалентную $y=\log_3 x$), полученную отражением графика $y=\log_{1/3} x$ относительно оси $Ox$. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(1/3, -1)$, $(3, 1)$.

---

6) $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его симметричного отражения относительно оси ординат ($Oy$).

Область определения: $-x > 0 \implies x < 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ отражается в точку $(-1, 0)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (-(-1)) = \log_{1/3} 1 = 0$.
• Точка $(1/3, 1)$ отражается в точку $(-1/3, 1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (-(-1/3)) = \log_{1/3} (1/3) = 1$.
• Точка $(3, -1)$ отражается в точку $(-3, -1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (-(-3)) = \log_{1/3} 3 = -1$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, полученную отражением графика $y=\log_{1/3} x$ относительно оси $Oy$. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(-1, 0)$, $(-1/3, 1)$, $(-3, -1)$.