Номер 5.27, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.27, страница 43.

5.27. Решите графически уравнение:

1) $\log_2 x = 3 - x;$

2) $\log_{\frac{1}{3}} x = x - 1;$

3) $\log_2 x = -x - 0,5.$

1)

Для решения уравнения $\log_2 x = 3 - x$ графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 3 - x$.

Функция $y_1 = \log_2 x$ — это логарифмическая функция. Её область определения $x > 0$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей. Для построения графика найдём несколько точек:
- при $x=1$, $y_1=\log_2 1 = 0$; точка (1, 0).
- при $x=2$, $y_1=\log_2 2 = 1$; точка (2, 1).
- при $x=4$, $y_1=\log_2 4 = 2$; точка (4, 2).

Функция $y_2 = 3 - x$ — это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:
- при $x=0$, $y_2 = 3 - 0 = 3$; точка (0, 3).
- при $x=3$, $y_2 = 3 - 3 = 0$; точка (3, 0).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Из графиков видно, что точка пересечения — (2, 1). Следовательно, $x=2$.

Поскольку функция $y_1 = \log_2 x$ является строго возрастающей, а функция $y_2 = 3 - x$ — строго убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Таким образом, найденное решение является единственным.

Проверка: подставим $x=2$ в исходное уравнение.
$\log_2 2 = 1$
$3 - 2 = 1$
$1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: 2.

2)

Решим уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = x - 1$ графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2 = x - 1$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ — логарифмическая. Область определения $x > 0$. Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому функция является убывающей. Ключевые точки для построения:
- при $x=\frac{1}{3}$, $y_1=\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$; точка (1/3, 1).
- при $x=1$, $y_1=\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$; точка (1, 0).
- при $x=3$, $y_1=\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$; точка (3, -1).

Функция $y_2 = x - 1$ — линейная, её график — прямая. Возьмем две точки:
- при $x=0$, $y_2 = 0 - 1 = -1$; точка (0, -1).
- при $x=1$, $y_2 = 1 - 1 = 0$; точка (1, 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в точке (1, 0). Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Так как функция $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ строго убывающая, а функция $y_2 = x - 1$ строго возрастающая, они могут пересечься только в одной точке. Следовательно, решение $x=1$ единственное.

Проверка: подставим $x=1$ в исходное уравнение.
$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$
$1 - 1 = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.

Ответ: 1.

3)

Для решения уравнения $\log_2 x = -x - 0.5$ построим графики функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = -x - 0.5$ в одной системе координат.

График функции $y_1 = \log_2 x$ — возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки (0.5, -1), (1, 0), (2, 1).

График функции $y_2 = -x - 0.5$ — убывающая прямая. Для построения возьмем точки:
- при $x=0$, $y_2 = -0 - 0.5 = -0.5$; точка (0, -0.5).
- при $x=0.5$, $y_2 = -0.5 - 0.5 = -1$; точка (0.5, -1).

Из построения видно, что графики пересекаются в точке (0.5, -1). Следовательно, решением уравнения является абсцисса этой точки, $x=0.5$.

Функция $y_1 = \log_2 x$ строго возрастает, а функция $y_2 = -x - 0.5$ строго убывает. Поэтому они имеют не более одной точки пересечения, и решение $x=0.5$ является единственным.

Проверка: подставим $x=0.5$ в исходное уравнение.
$\log_2{0.5} = \log_2{\frac{1}{2}} = -1$
$-0.5 - 0.5 = -1$
$-1 = -1$. Равенство верное.

Ответ: 0.5.