Номер 5.24, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.24, страница 43.

5.24. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{5}{\lg(x + 3)};$

2) $y = \lg \sin x.$

1) $y = \frac{5}{\lg(x + 3)}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x + 3 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\lg(x + 3) \neq 0$.

Решим эти условия в виде системы:

$ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ \lg(x + 3) \neq 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем:

$x > -3$

Из второго условия, зная, что логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице ($\lg(1)=0$), получаем:

$x + 3 \neq 1$

$x \neq 1 - 3$

$x \neq -2$

Объединяя оба условия, мы получаем, что $x$ должен быть больше -3, но при этом не должен быть равен -2. Таким образом, область определения функции — это все числа из интервала $(-3, +\infty)$, за исключением точки -2.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2) $y = \lg \sin x$

Область определения этой логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго положительным:

$\sin x > 0$

Функция синус принимает положительные значения, когда угол $x$ находится в первой или второй координатной четверти. На тригонометрической окружности это соответствует интервалу $(0; \pi)$.

Поскольку функция синус является периодической с периодом $2\pi$, то для нахождения всех решений нужно к границам интервала добавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, общее решение неравенства имеет вид:

$2\pi k < x < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.