Номер 5.18, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.18, страница 42.

5.18. Сравните:

1) $\log_{0.1} 12$ и $1$;

2) $\log_4 3$ и $-\frac{1}{2}$;

3) $\frac{2}{3}$ и $\log_{125} 30$.

1) Для того чтобы сравнить $\log_{0,1} 12$ и $1$, представим число $1$ в виде логарифма с основанием $0,1$.

Используя свойство логарифма $\log_a a = 1$, получаем: $1 = \log_{0,1} 0,1$.

Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов: $\log_{0,1} 12$ и $\log_{0,1} 0,1$.

Основание логарифма $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,1} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $12$ и $0,1$.

Очевидно, что $12 > 0,1$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием $0,1$ является убывающей, из неравенства $12 > 0,1$ следует обратное неравенство для значений логарифмов: $\log_{0,1} 12 < \log_{0,1} 0,1$.

Так как $\log_{0,1} 0,1 = 1$, то получаем $\log_{0,1} 12 < 1$.

Ответ: $\log_{0,1} 12 < 1$.

2) Чтобы сравнить $\log_4 3$ и $-\frac{1}{2}$, представим число $-\frac{1}{2}$ в виде логарифма с основанием $4$.

Пусть $\log_4 x = -\frac{1}{2}$. По определению логарифма, это означает, что $x = 4^{-1/2}$.

Вычислим значение $x$: $x = 4^{-1/2} = \frac{1}{4^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $-\frac{1}{2} = \log_4 \frac{1}{2}$.

Теперь сравним два логарифма: $\log_4 3$ и $\log_4 \frac{1}{2}$.

Основание логарифма $a = 4$. Так как $4 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы: $3 > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция возрастающая, из неравенства $3 > \frac{1}{2}$ следует такое же неравенство для логарифмов: $\log_4 3 > \log_4 \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\log_4 3 > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\log_4 3 > -\frac{1}{2}$.

3) Чтобы сравнить $\frac{2}{3}$ и $\log_{125} 30$, представим число $\frac{2}{3}$ в виде логарифма с основанием $125$.

Пусть $\log_{125} x = \frac{2}{3}$. По определению логарифма, $x = 125^{2/3}$.

Вычислим значение $x$: $x = (125^{1/3})^2 = (\sqrt[3]{125})^2$.

Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.

Тогда $x = 5^2 = 25$.

Следовательно, мы можем записать, что $\frac{2}{3} = \log_{125} 25$.

Теперь задача сводится к сравнению $\log_{125} 25$ и $\log_{125} 30$.

Основание логарифма $a = 125$. Так как $125 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{125} x$ является возрастающей.

Сравним аргументы: $25 < 30$.

Поскольку функция возрастающая, из неравенства $25 < 30$ следует, что $\log_{125} 25 < \log_{125} 30$.

Таким образом, $\frac{2}{3} < \log_{125} 30$.

Ответ: $\frac{2}{3} < \log_{125} 30$.