Номер 5.22, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.22, страница 42.

5.22. Сравните:

1) $log_{1,7} 1,8$ и $log_{1,8} 1,7$;

2) $log_{0,2} 0,3$ и $log_{0,3} 0,2$.

1) Сравнить $ \log_{1.7} 1.8 $ и $ \log_{1.8} 1.7 $

Для решения этой задачи сравним каждое из чисел с единицей. Для этого воспользуемся свойствами логарифмической функции $ y = \log_a x $.

Рассмотрим первое число: $ \log_{1.7} 1.8 $.

Основание логарифма $ a = 1.7 $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{1.7} x $ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргумент $ 1.8 $ с основанием $ 1.7 $. Так как $ 1.8 > 1.7 $, то $ \log_{1.7} 1.8 > \log_{1.7} 1.7 $.

Поскольку $ \log_{1.7} 1.7 = 1 $, мы получаем, что $ \log_{1.7} 1.8 > 1 $.

Рассмотрим второе число: $ \log_{1.8} 1.7 $.

Основание логарифма $ a = 1.8 $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{1.8} x $ также является возрастающей.

Сравним аргумент $ 1.7 $ с основанием $ 1.8 $. Так как $ 1.7 < 1.8 $, то $ \log_{1.8} 1.7 < \log_{1.8} 1.8 $.

Поскольку $ \log_{1.8} 1.8 = 1 $, мы получаем, что $ \log_{1.8} 1.7 < 1 $.

Итак, мы имеем $ \log_{1.7} 1.8 > 1 $ и $ \log_{1.8} 1.7 < 1 $. Следовательно, первое число больше второго.

Ответ: $ \log_{1.7} 1.8 > \log_{1.8} 1.7 $

2) Сравнить $ \log_{0.2} 0.3 $ и $ \log_{0.3} 0.2 $

Аналогично первому пункту, сравним каждое из чисел с единицей.

Рассмотрим первое число: $ \log_{0.2} 0.3 $.

Основание логарифма $ a = 0.2 $. Так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{0.2} x $ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргумент $ 0.3 $ с основанием $ 0.2 $. Так как $ 0.3 > 0.2 $, то $ \log_{0.2} 0.3 < \log_{0.2} 0.2 $.

Поскольку $ \log_{0.2} 0.2 = 1 $, мы получаем, что $ \log_{0.2} 0.3 < 1 $.

Рассмотрим второе число: $ \log_{0.3} 0.2 $.

Основание логарифма $ a = 0.3 $. Так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{0.3} x $ также является убывающей.

Сравним аргумент $ 0.2 $ с основанием $ 0.3 $. Так как $ 0.2 < 0.3 $, то $ \log_{0.3} 0.2 > \log_{0.3} 0.3 $.

Поскольку $ \log_{0.3} 0.3 = 1 $, мы получаем, что $ \log_{0.3} 0.2 > 1 $.

Итак, мы имеем $ \log_{0.2} 0.3 < 1 $ и $ \log_{0.3} 0.2 > 1 $. Следовательно, первое число меньше второго.

Ответ: $ \log_{0.2} 0.3 < \log_{0.3} 0.2 $