Номер 5.17, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.17, страница 42.

5.17. Сравните:

1) $\log_9 2$ и $3$;

2) $\log_{\frac{1}{5}} 27$ и $-2$;

3) $\log_{\sqrt{3}} 26$ и $6$;

4) $\log_{16} 0,1$ и $-\frac{3}{4}$.

1) $\log_9 2$ и 3

Для сравнения двух чисел, представим число 3 в виде логарифма с основанием 9. Используем свойство логарифма $b = \log_a a^b$.
Получаем: $3 = \log_9 9^3$.
Вычислим $9^3 = 729$. Таким образом, $3 = \log_9 729$.
Теперь нам нужно сравнить $\log_9 2$ и $\log_9 729$.
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ с основанием $a > 1$ является возрастающей. В нашем случае основание $9 > 1$, поэтому чем больше аргумент (число под логарифмом), тем больше значение логарифма.
Сравним аргументы: $2 < 729$.
Следовательно, $\log_9 2 < \log_9 729$, а значит, $\log_9 2 < 3$.
Ответ: $\log_9 2 < 3$.

2) $\log_{\frac{1}{5}} 27$ и -2

Представим число -2 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{5}$. Используя свойство $b = \log_a a^b$, получаем:
$-2 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$.
Вычислим значение степени: $\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$.
Таким образом, $-2 = \log_{\frac{1}{5}} 25$.
Теперь сравним $\log_{\frac{1}{5}} 27$ и $\log_{\frac{1}{5}} 25$.
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. В нашем случае основание $0 < \frac{1}{5} < 1$, поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $27 > 25$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{5}} 27 < \log_{\frac{1}{5}} 25$, а значит, $\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2$.

3) $\log_{\sqrt{3}} 26$ и 6

Представим число 6 в виде логарифма с основанием $\sqrt{3}$. По свойству $b = \log_a a^b$ имеем:
$6 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^6$.
Вычислим значение степени: $(\sqrt{3})^6 = (3^{1/2})^6 = 3^{6/2} = 3^3 = 27$.
Таким образом, $6 = \log_{\sqrt{3}} 27$.
Теперь сравним $\log_{\sqrt{3}} 26$ и $\log_{\sqrt{3}} 27$.
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей, так как ее основание $\sqrt{3} \approx 1,732 > 1$.
Следовательно, чем больше аргумент, тем больше значение логарифма.
Сравним аргументы: $26 < 27$.
Отсюда следует, что $\log_{\sqrt{3}} 26 < \log_{\sqrt{3}} 27$, а значит, $\log_{\sqrt{3}} 26 < 6$.
Ответ: $\log_{\sqrt{3}} 26 < 6$.

4) $\log_{16} 0,1$ и $-\frac{3}{4}$

Представим число $-\frac{3}{4}$ в виде логарифма с основанием 16. По свойству $b = \log_a a^b$ имеем:
$-\frac{3}{4} = \log_{16} 16^{-3/4}$.
Вычислим значение степени: $16^{-3/4} = (2^4)^{-3/4} = 2^{4 \cdot (-3/4)} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$.
Таким образом, $-\frac{3}{4} = \log_{16} 0,125$.
Теперь сравним $\log_{16} 0,1$ и $\log_{16} 0,125$.
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей, так как ее основание $16 > 1$.
Следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы: $0,1 < 0,125$.
Отсюда следует, что $\log_{16} 0,1 < \log_{16} 0,125$, а значит, $\log_{16} 0,1 < -\frac{3}{4}$.
Ответ: $\log_{16} 0,1 < -\frac{3}{4}$.