Номер 5.10, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.10, страница 41.

5.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:

1) $y = \log_{\frac{1}{3}} x, \left[\frac{1}{9}; 3\right];$

2) $y = \lg x, [1; 1000].$

1)

Для функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ на промежутке $[\frac{1}{9}; 3]$.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является монотонно убывающей, если ее основание $a$ находится в пределах $0 < a < 1$. В данном случае основание $a = \frac{1}{3}$, что удовлетворяет этому условию.Следовательно, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей на всей области определения.

На заданном отрезке $[\frac{1}{9}; 3]$ убывающая функция принимает свое наибольшее значение в левой границе отрезка (при наименьшем значении $x$), а наименьшее — в правой границе (при наибольшем значении $x$).

Найдем значение функции на концах промежутка:

Наибольшее значение (при $x = \frac{1}{9}$):$y_{наиб} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{9}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right) = 2$

Наименьшее значение (при $x = 3$):$y_{наим} = \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{3^{-1}} 3^1 = -1 \cdot \log_3 3 = -1$

Ответ: наибольшее значение функции равно $2$, наименьшее значение равно $-1$.

2)

Для функции $y = \lg x$ на промежутке $[1; 1000]$.

Функция $y = \lg x$ является десятичным логарифмом, то есть $y = \log_{10} x$.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является монотонно возрастающей, если ее основание $a > 1$. В данном случае основание $a = 10$, что удовлетворяет этому условию.Следовательно, функция $y = \lg x$ является возрастающей на всей области определения.

На заданном отрезке $[1; 1000]$ возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в левой границе отрезка (при наименьшем значении $x$), а наибольшее — в правой границе (при наибольшем значении $x$).

Найдем значение функции на концах промежутка:

Наименьшее значение (при $x = 1$):$y_{наим} = \lg 1 = 0$

Наибольшее значение (при $x = 1000$):$y_{наиб} = \lg 1000 = \lg 10^3 = 3$

Ответ: наибольшее значение функции равно $3$, наименьшее значение равно $0$.