Номер 5.5, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.5, страница 41.

5.5. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $ \log_a 0.5 > \log_a 0.4; $

2) $ \log_a \frac{2}{3} > \log_a 1; $

3) $ \log_a \sqrt{5} < \log_a \sqrt{6}; $

4) $ \log_a \frac{\pi}{4} < \log_a \frac{\pi}{3}. $

1) Дано неравенство $ \log_{a} 0,5 > \log_{a} 0,4 $.

Для решения сравним аргументы логарифмов: $ 0,5 $ и $ 0,4 $. Очевидно, что $ 0,5 > 0,4 $.

Знак неравенства для логарифмов ($>$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($>$). Такое соотношение справедливо для возрастающей логарифмической функции.

Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ является возрастающей, когда её основание $ a > 1 $.

Ответ: $a > 1$.

2) Дано неравенство $ \log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} 1 $.

Сравним аргументы логарифмов: $ \frac{2}{3} $ и $ 1 $. Очевидно, что $ \frac{2}{3} < 1 $.

Знак неравенства для логарифмов ($>$) противоположен знаку неравенства для их аргументов ($<$). Такое соотношение справедливо для убывающей логарифмической функции.

Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ является убывающей, когда её основание $ 0 < a < 1 $.

Ответ: $0 < a < 1$.

3) Дано неравенство $ \log_{a} \sqrt{5} < \log_{a} \sqrt{6} $.

Сравним аргументы логарифмов: $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{6} $. Так как подкоренные выражения положительны и $ 5 < 6 $, то $ \sqrt{5} < \sqrt{6} $.

Знак неравенства для логарифмов ($<$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($<$). Такое соотношение справедливо для возрастающей логарифмической функции.

Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ является возрастающей, когда её основание $ a > 1 $.

Ответ: $a > 1$.

4) Дано неравенство $ \log_{a} \frac{\pi}{4} < \log_{a} \frac{\pi}{3} $.

Сравним аргументы логарифмов: $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{3} $. Так как $ 3 < 4 $, то для обратных величин справедливо $ \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $. Умножив обе части на положительное число $ \pi $, получим $ \frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} $.

Знак неравенства для логарифмов ($<$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($<$). Такое соотношение справедливо для возрастающей логарифмической функции.

Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ является возрастающей, когда её основание $ a > 1 $.

Ответ: $a > 1$.