Номер 5.11, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 5. Логарифмическая функция и её свойства. Упражнения - номер 5.11, страница 41.

Учебник.

5.11. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \log_2 x$ равно 3, а наименьшее равно -1?

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим функцию $y = \log_2(x)$. Основание этого логарифма $a=2$. Поскольку основание больше единицы ($a > 1$), данная функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть при $x > 0$.

Для строго возрастающей функции на отрезке $[x_1; x_2]$ наименьшее значение достигается в левой границе отрезка (в точке $x_1$), а наибольшее — в правой границе (в точке $x_2$). По условию задачи, наименьшее значение функции равно $-1$, а наибольшее равно $3$.

1. Найдем левую границу искомого промежутка, $x_1$, подставив наименьшее значение функции $y_{min} = -1$ в уравнение:
$\log_2(x_1) = -1$
По определению логарифма, это равенство эквивалентно следующему:
$x_1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

2. Найдем правую границу искомого промежутка, $x_2$, подставив наибольшее значение функции $y_{max} = 3$ в уравнение:
$\log_2(x_2) = 3$
По определению логарифма:
$x_2 = 2^3 = 8$

Таким образом, функция $y = \log_2(x)$ принимает значения от $-1$ до $3$ на отрезке от $x_1 = \frac{1}{2}$ до $x_2 = 8$.

Ответ: $[\frac{1}{2}; 8]$