Номер 5.14, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.14, страница 42.

5.14. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \log_{7} (6 - x)$;

2) $f(x) = \log_{12} |x|$;

3) $f(x) = \lg (x^2 - 1)$;

4) $f(x) = \log_{0.4} (7x - x^2)$;

5) $f(x) = \lg (x + 2) - 2\lg (x + 5)$;

6) $f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x - 1}$.

1) $f(x) = \log_7(6 - x)$

Область определения логарифмической функции определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. В данном случае:

$6 - x > 0$

Решаем неравенство:

$-x > -6$

$x < 6$

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 6.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$

2) $f(x) = \log_{12}|x|$

Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля:

$|x| > 0$

Модуль любого числа является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$). Равенство нулю достигается только при $x = 0$. Следовательно, неравенство $|x| > 0$ выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

3) $f(x) = \lg(x^2 - 1)$

Аргумент десятичного логарифма должен быть положительным:

$x^2 - 1 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• При $x < -1$ (например, $x = -2$), выражение $(x - 1)(x + 1) = (-3)(-1) = 3 > 0$.
• При $-1 < x < 1$ (например, $x = 0$), выражение $(x - 1)(x + 1) = (-1)(1) = -1 < 0$.
• При $x > 1$ (например, $x = 2$), выражение $(x - 1)(x + 1) = (1)(3) = 3 > 0$.

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

4) $f(x) = \log_{0,4}(7x - x^2)$

Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$7x - x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(7 - x) > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $x(7 - x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Парабола $y = 7x - x^2$ имеет ветви, направленные вниз, поэтому она положительна между корнями.

Таким образом, решение неравенства — интервал $(0; 7)$.

Ответ: $x \in (0; 7)$

5) $f(x) = \lg(x + 2) - 2\lg(x + 5)$

Область определения данной функции является пересечением областей определения каждого из слагаемых. Поэтому должны одновременно выполняться два условия:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решаем систему неравенств:

$\begin{cases} x > -2 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является более сильное неравенство $x > -2$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

6) $f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x - 1}$

Аргумент логарифма, которым является дробь, должен быть строго положительным:

$\frac{2x + 1}{x - 1} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$2x + 1 = 0 \implies x = -0,5$

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Эти точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty; -0,5)$, $(-0,5; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале:

• При $x < -0,5$ (например, $x = -1$), дробь $\frac{2(-1) + 1}{-1 - 1} = \frac{-1}{-2} > 0$.
• При $-0,5 < x < 1$ (например, $x = 0$), дробь $\frac{2(0) + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} < 0$.
• При $x > 1$ (например, $x = 2$), дробь $\frac{2(2) + 1}{2 - 1} = \frac{5}{1} > 0$.

Неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -0,5)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (1; +\infty)$