Номер 5.9, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.9, страница 41.

5.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:

1) $y = \log_{2}x, [\frac{1}{4}; 8]$;

2) $y = \log_{\frac{1}{2}}x, [\frac{1}{16}; 8]$;

3) $y = \log_{\frac{2}{3}}x, [\frac{4}{9}; \frac{81}{16}]$

1) Дана функция $y = \log_2 x$ на промежутке $[\frac{1}{4}; 8]$.

Основание логарифма $a = 2$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что на заданном промежутке наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении аргумента, а наибольшее значение функции – при наибольшем значении аргумента.

Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при $x = \frac{1}{4}$:

$y_{наим} = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2$.

Найдем наибольшее значение функции. Оно достигается при $x = 8$:

$y_{наиб} = \log_2(8) = \log_2(2^3) = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2, наибольшее значение равно 3.

2) Дана функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ на промежутке $[\frac{1}{16}; 8]$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что на заданном промежутке наименьшее значение функции достигается при наибольшем значении аргумента, а наибольшее значение функции – при наименьшем значении аргумента.

Найдем наибольшее значение функции. Оно достигается при $x = \frac{1}{16}$:

$y_{наиб} = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{16}\right) = \log_{2^{-1}}(16^{-1}) = \log_{2^{-1}}((2^4)^{-1}) = \log_{2^{-1}}(2^{-4}) = \frac{-4}{-1}\log_2(2) = 4$.

Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при $x = 8$:

$y_{наим} = \log_{\frac{1}{2}}(8) = \log_{2^{-1}}(2^3) = \frac{3}{-1}\log_2(2) = -3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -3, наибольшее значение равно 4.

3) Дана функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ на промежутке $[\frac{4}{9}; \frac{81}{16}]$.

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является строго убывающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наибольшем значении аргумента, а наибольшее значение функции – при наименьшем значении аргумента.

Найдем наибольшее значение функции. Оно достигается при $x = \frac{4}{9}$:

$y_{наиб} = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{4}{9}\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right) = 2$.

Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при $x = \frac{81}{16}$:

$y_{наим} = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{81}{16}\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{3^4}{2^4}\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^4\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\right) = -4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшее значение равно 2.